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Formules & méthodes

Par transparence, cette page réunit la ou les formules réellement utilisées par chaque calculateur, avec ses hypothèses et son domaine de validité. Rien n'est caché : vous pouvez vérifier chaque calcul par vous-même.

Seules des formules du domaine public sont reproduites. Les normes (ISO, EN/Eurocode, VDI, ASME…) ne sont citées qu'en référence : leur texte, protégé, n'est jamais reproduit ici. Les valeurs tabulées issues de ces normes sont utilisées par les outils mais non recopiées sur cette page.

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Rappel : ces formules servent à l'aide au prédimensionnement. Elles ne remplacent pas une note de calcul validée par un professionnel (voir les conditions d'utilisation).

Conception & assemblages

Couple de serrage (VDI 2230)

Section résistante : A_s = (π/4)·((d₂+d₃)/2)², d₂ = d − 0,6495·p, d₃ = d − 1,2269·p

Précontrainte : F₀ = 0,9·R_p0,2·A_s / √(1 + 3·(4·k_fil/d_s)²)

Couple : C = F₀·(k_fil + k_têt), k_fil = 0,16·p + 0,58·μ_T·d₂, k_têt = 0,5·μ_H·D_km

Hypothèses : Utilisation de 90 % de R_p0,2 (VDI 2230), contrainte équivalente de von Mises (traction + torsion), frottements μ_T (filet) et μ_H (sous tête) donnés.

Domaine de validité : Vis métrique ISO, serrage à la clé dynamométrique. Ne modélise ni le desserrage, ni la fatigue.

Assemblage vissé (VDI 2230)

Facteur de charge : Φ = δ_P/(δ_S + δ_P) (souplesses vis δ_S / pièces δ_P, cône de Rötscher)

Précontrainte de montage maxi : F_Mzul = ν·R_p0,2·A_s / √(1 + 3·(4·k_fil/d_s)²)

Couple : M_G = F_M·(d₂/2)·(P/(π·d₂) + 1,155·μ_T) + F_M·μ_H·D_km/2

Sécurité fatigue : S_D = σ_A / σ_a

Hypothèses : Assemblage vissé centrique, cône de compression de Rötscher, perte au tassement F_Z. Méthode complète VDI 2230.

Domaine de validité : Prédimensionnement analytique. Les tables de coefficients proviennent de la VDI 2230 (nommée en référence, non reproduite).

Joint plat de bride (ASME VIII)

Poussée hydrostatique : H = 0,785·G²·P

Effort de service : W_m1 = H + H_p, avec H_p = 2·b·π·G·m·P

Effort d'assise : W_m2 = π·b·G·y

Effort requis = max(W_m1, W_m2)

Hypothèses : Largeur d'assise effective b, diamètre effectif G = D_e − 2b ; m (facteur d'assise) et y (pression minimale) = facteurs de joint.

Domaine de validité : Brides boulonnées (ASME VIII Div. 1, App. 2). m, y = tables ASME (indicatives, à recouper fournisseur).

Joint torique (O-ring, ISO 3601)

Écrasement : squeeze = (CS − profondeur)/CS × 100 [%]

Remplissage de gorge : π·(CS/2)² / (profondeur·largeur) × 100 [%]

Étirement : (Ø_fond − ID)/ID × 100 [%]

Hypothèses : Section circulaire CS. Plages recommandées : écrasement 15–30 % (statique) / 6–20 % (dynamique), remplissage 60–85 %, étirement ≤ 3–5 %.

Domaine de validité : Conception de gorge (ISO 3601-2). Valeurs indicatives, hors compatibilité chimique/thermique.

Joint de capot (compression)

Taux de compression : (h₀ − h_f)/h₀ × 100 [%]

Module depuis dureté : E = e^(0,0235·Shore_A − 0,6403)

Contrainte (Hooke) : σ = E·ε ; effort F = σ·aire

Hypothèses : Élastomère, petite déformation (loi de Hooke). Conversion Shore→E : formule ASTM.

Domaine de validité : ⚠️ La loi de compression « par défaut » σ = k·ε/(1−ε) est une estimation maison (ordre de grandeur seulement) ; les modes Hooke/Shore sont sourcés.

Soudure d'angle

Contrainte dans la gorge : τ = F / (a·L·n)

Résistance acier (EC3) : f_vw,d = f_u / (√3·β_w·γ_M2)

Résistance alu (EC9) : f_vw,d = f_w / (√3·γ_Mw)

Hypothèses : Gorge a = hauteur du plus grand triangle inscrit ; méthode simplifiée. β_w, f_w : tables Eurocode selon nuance.

Domaine de validité : Cordons L ≥ 30 mm et L ≥ 6·a. Alu : la zone affectée thermiquement (ZAT), non modélisée, est souvent le point faible.

Frettage / emmanchement serré

Serrage effectif : δ_eff = δ − 3·(Ra₁ + Ra₂)

Pression (Lamé) : p = δ_eff / (d·(K_m + K_a))

K_m = ((D_e²+d²)/(D_e²−d²) + ν_m)/E_m ; K_a = ((d²+D_i²)/(d²−D_i²) − ν_a)/E_a

Couple : T = p·π·d·L·μ · d/2 ; contrainte moyeu σ = p·(D_e²+d²)/(D_e²−d²)

Hypothèses : Cylindres épais (théorie de Lamé), élastique. δ_eff : correction du lissage des rugosités au montage.

Domaine de validité : Température ambiante. Un différentiel de dilatation en service peut annuler le serrage : vérifier à chaud.

Ajustements ISO 286

Unité de tolérance : i = 0,45·∛D + 0,001·D (D = moyenne géom. de la plage)

Grade : IT_n = k·i (IT6=10, IT7=16, IT8=25, IT9=40, IT10=64, IT11=100…)

Écart fondamental arbre (ex.) : g → es = −2,5·D^0,34 ; n → ei = +5·D^0,34

Jeu/serrage : j_max = ES − ei, j_min = EI − es

Hypothèses : Système ISO 286-1 (trou/arbre normalisés). Alésages déduits par symétrie et règle Δ pour K/M/N/P.

Domaine de validité : Ø jusqu'à 500 mm. Validé au µm près (ex. 25H7/g6 = +0,007/+0,041).

Chaîne de cotes

Cote résultante : J = Σ (sens·cote)

Pire cas (arithmétique) : IT_J = Σ IT_i

Statistique (RSS) : IT_J = √(Σ IT_i²)

Hypothèses : Pire cas : chaque maillon à sa limite défavorable. RSS : productions centrées, capables et indépendantes.

Domaine de validité : RSS pertinent à partir de ~5 maillons du même ordre de grandeur.

Tolérances de filetage ISO 965

Ø sur flancs de base : d₂ = d − 0,649519·P

Ø intérieur de base : D₁ = d − 1,082531·P

(profil de base ISO 724 ; H = 0,866·P)

Hypothèses : Géométrie ISO 724. Écarts fondamentaux et tolérances = tables ISO 965-1 (valeurs tabulées, non recalculées).

Domaine de validité : Filetage métrique ISO. Cotes limites validées au µm sur M10×1,5 6g (9,968/9,732).

Dureté (conversions HV/HB/HRC/Rm)

Table de correspondance HV ↔ HB ↔ HRC ↔ R_m (interpolation linéaire)

Relations implicites acier : R_m[MPa] ≈ 3,2–3,3·HV ; HB ≈ 0,95·HV

Hypothèses : Aciers non/faiblement alliés. Table de conversion ISO 18265 / ASTM E140.

Domaine de validité : ⚠️ Valable pour les aciers ; ne pas extrapoler aux alu/inox austénitiques.

Caractéristiques des matériaux

Table de référence : E, R_p0,2, R_m, ρ, ν, α par nuance (pas de formule)

Hypothèses : Valeurs à température ambiante, nuances courantes du commerce (normes EN 10025/10088/573…).

Domaine de validité : ⚠️ Valeurs indicatives : dépendent de l'état/traitement (suffixes +N/+QT/T6). Ne remplace pas la fiche fournisseur.

Calcul & dimensionnement

Traction / compression

Contrainte : σ = N/A

Allongement : ΔL = N·L/(E·A) = σ·L/E ; raideur k = E·A/L

Sécurité : c_s = R_e/σ

Hypothèses : Effort axial centré, section constante, matériau élastique linéaire (loi de Hooke).

Domaine de validité : Domaine élastique (σ ≤ R_e). En compression, un garde-fou de flambement est ajouté.

Poutre en flexion

Contrainte : σ = M·v/I = M/W

Relations : dV/dx = −w, dM/dx = V (M = ∫V·dx)

Déformée : E·I·y″ = M(x) (Euler-Bernoulli)

Hypothèses : Poutre élancée, élastique linéaire, petites déformations, cisaillement transverse négligé. Solveur numérique (400 pas).

Domaine de validité : Prédimensionnement. Validé sur cas fermés (ex. charge centrale : M_max = PL/4, δ = PL³/48EI).

Flambement (Euler / Rankine / EC3)

Charge critique d'Euler : F_cr = π²·E·I / L_k², L_k = k·L

Élancement : λ = L_k/i, i = √(I/A) ; limite λ_c = π·√(E/R_e)

Rankine : σ_cr = R_e/(1 + (λ/λ_c)²)

EC3 : χ = 1/(Φ + √(Φ²−λ̄²)), N_b,Rd = χ·A·f_y/γ_M1

Hypothèses : Poutre droite, élastique linéaire, charge centrée. k selon appuis : 0,5 / 0,7 / 1 / 2.

Domaine de validité : Euler valable pour λ > λ_c ; en deçà, Rankine/EC3. ⚠ au-delà de λ = 200.

Propriétés de section

Inertie : rectangle I = b·h³/12 ; cercle I = π·d⁴/64 ; tube I = π(D_e⁴−D_i⁴)/64

Profilé composé (Huygens) : I = Σ(I_i + A_i·d_i²)

Module W = I/v ; rayon de giration i = √(I/A)

Hypothèses : Section homogène, axes au centre de gravité (v = distance à la fibre extrême).

Domaine de validité : Sections pleines/creuses et profilés composés.

Torsion d'arbre

Moment quadratique polaire : I_p = π·d⁴/32 (plein)

Contrainte : τ = M_t/W_p, W_p = π·d³/16 (plein)

Angle : θ = M_t·L/(G·I_p), G = E/(2(1+ν))

Couple depuis puissance : M_t = 9550·P/N (P en kW, N en tr/min)

Hypothèses : Section circulaire pleine/creuse, élastique linéaire, couple constant, pas de gauchissement.

Domaine de validité : Arbres circulaires. Ne couvre pas les sections non circulaires (gauchissement).

Raideur & vitesse critique d'arbre

Raideur torsion : k_θ = G·I_p/L

Fréquence propre : f_n = (1/2π)·√(k_θ/J) ; vitesse critique N_c = 60·f_n

Amortissement critique : c_c = 2·√(k_θ·J) ; décrément δ = 2πζ/√(1−ζ²)

Hypothèses : Système 1 degré de liberté (arbre sans masse + inertie J en bout), paliers rigides, régime linéaire.

Domaine de validité : Estimation de la première vitesse critique en torsion.

Pression de contact de Hertz

Module réduit : 1/E* = (1−ν₁²)/E₁ + (1−ν₂²)/E₂

Contact ponctuel : a = (3·F·R/(4·E*))^⅓, p_max = 3F/(2π·a²)

Contact linéique : b = √(4·F·R/(π·L·E*)), p_max = 2F/(π·b·L)

Cisaillement sous-couche : τ_max ≈ 0,30·p_max

Hypothèses : Matériaux élastiques linéaires isotropes, contact sans frottement, aire ≪ dimensions des corps.

Domaine de validité : Contact hertzien élastique. τ_max ≈ 0,30·p_max (arrondi de 0,31 pour ν≈0,3).

Fatigue (Wöhler / Goodman)

Limite d'endurance (estimation acier) : S_e = 0,5·R_m

Droite S-N : S_f = a·N^b, a = (0,9·R_m)²/S_e, b = −(1/3)·log₁₀(0,9·R_m/S_e)

Correction moyenne — Goodman : σ_a,cor = σ_a/(1 − σ_m/R_m)

Hypothèses : Acier (R_m ≤ ~1400 MPa), amplitude constante, S_e non corrigé des facteurs de Marin (surface, taille…).

Domaine de validité : Zone 10³–10⁶ cycles. Endurance infinie si σ_a,cor ≤ S_e.

Concentration de contraintes Kt

Plaque trouée : K_t = 3 − 3,13·r + 3,66·r² − 1,53·r³, r = d/W (σ_nom sur section nette)

Arbre épaulé : K_t = C₁ + C₂·(2h/D) + C₃·(2h/D)² + C₄·(2h/D)³ (C₁–C₄ = f(√(h/r)))

σ_max = K_t·σ_nom

Hypothèses : Polynômes d'ajustement (solution de Howland pour le trou ; Pilkey pour l'épaulement, dans Peterson).

Domaine de validité : Plaque trouée : 0 ≤ d/W ≤ 0,5. Épaulement : 0,1 ≤ h/r ≤ 20.

Récipient sous pression

Paroi mince (D/e > 20) : σ_θ = p·D/(2e), σ_L = p·D/(4e)

Paroi épaisse (Lamé) : σ_θ = p(r_e²+r_i²)/(r_e²−r_i²), σ_r = −p (au rayon intérieur)

Contrainte équivalente : σ_VM = √(½·[(σ_θ−σ_L)²+(σ_L−σ_r)²+(σ_r−σ_θ)²])

Hypothèses : Cylindre sous pression interne, matériau élastique. Bascule mince/épais à D/e = 20.

Domaine de validité : Réservoirs cylindriques. Ne couvre ni les fonds, ni les piquages, ni la fatigue.

Axe & clavette

Axe — cisaillement : τ = F/(n·π·d²/4) ; matage : p = F/(d·l)

Clavette — effort tangentiel : F = 2·C/d

Clavette — cisaillement : τ = F/(a·L) ; matage : p = 2·F/(b·L)

Hypothèses : Clavette parallèle, section a×b lue en table (NF E22-177 / ISO 773) ; demi-hauteur en contact pour le matage.

Domaine de validité : Prédimensionnement statique. Le matage est le plus souvent dimensionnant devant le cisaillement.

Goupille (cisaillement)

Cisaillement : τ = F/(n·S), S = π·d²/4

Cisaillement admissible : τ_adm = 0,5·R_e/s

Hypothèses : Effort transversal réparti sur n plans cisaillés ; matériau ductile (Tresca, cisaillement = R_e/2).

Domaine de validité : Prédimensionnement statique. Le matage du logement (non calculé) est souvent dimensionnant.

Transmission

Durée de vie de roulement L10 (ISO 281)

Durée nominale : L10 = (C/P)^p [millions de tours], p = 3 (billes), 10/3 (rouleaux)

En heures : L10h = L10·10⁶ / (60·N)

Sécurité statique : s₀ = C₀/P

Hypothèses : Charge et vitesse constantes, lubrification correcte, fiabilité 90 % (a₁ = 1).

Domaine de validité : Ne couvre pas la fatigue accélérée par contamination/sous-lubrification (facteur a_ISO).

Charge équivalente de roulement

Charge dynamique équivalente : P = X·Fr + Y·Fa

Si Fa/Fr ≤ e : X=1, Y=0 (P=Fr) ; sinon X=0,56, Y interpolé (table ISO 281, index f₀·Fa/C₀)

Hypothèses : Roulement rigide à billes, jeu normal ; e et Y lus dans la table ISO 281.

Domaine de validité : X=0,56 et table e/Y (billes radiales) ; à recouper au catalogue fabricant pour les rouleaux.

Engrenages droits

Géométrie : d = m·Z ; entraxe a = (d₁+d₂)/2 ; effort F_t = 2·T/d₁

Flexion de pied (Lewis) : σ_F = F_t/(b·m·Y)

Contact : Hertz linéique simplifié (cf. Pression de Hertz)

Hypothèses : Denture droite non déportée, dent traitée en poutre encastrée (Lewis « nu »). Y = table 20° pleine hauteur.

Domaine de validité : Vérification simplifiée inspirée de l'ISO 6336 — pas la procédure de la norme (sans facteurs Z et K). 14,5° : facteur approché non normalisé.

Train épicycloïdal

Équation de Willis : n_c·z_c = n_ps·(z_c+z_p) − z_p·n_p

Couronne fixe : i = 1 + z_c/z_p ; porte-satellites fixe : i₀ = −z_c/z_p

Condition d'engrènement : z_c = z_p + 2·z_s

Hypothèses : Denture standard, satellites identiques, condition de montage vérifiée.

Domaine de validité : Rapports cinématiques. Ne traite ni les efforts, ni le rendement.

Courroies & poulies

Rapport i = D₂/D₁ ; vitesse v = π·D₁·N₁/60 ; effort F_t = P/v

Angle d'enroulement : θ = π − 2·arcsin((D₂−D₁)/(2E))

Euler-Eytelwein : T₁/T₂ = e^(μ′·θ) ; longueur L = 2E + π(D₁+D₂)/2 + (D₂−D₁)²/(4E)

Hypothèses : Courroie inextensible, glissement à la limite d'adhérence, μ′ = μ (plate) ou μ/sin(β/2) (trapézoïdale).

Domaine de validité : Transmission par adhérence. La puissance transmissible est bornée par le patinage.

Transmission par chaîne

Rapport i = Z₂/Z₁ ; vitesse v = p·Z₁·N₁/60000

Longueur : L = p(Z₁+Z₂)/2 + 2C + p²(Z₂−Z₁)²/(4π²C)

Couple : C_p = P/(2π·N₂/60)

Hypothèses : Chaîne à rouleaux ISO 606, entraxe C donné, effet polygonal non modélisé.

Domaine de validité : Prédimensionnement cinématique et longueur de chaîne.

Ressort de compression

Indice C = D/d ; facteur de Wahl K_w = (4C−1)/(4C−4) + 0,615/C

Raideur : k = G·d⁴/(8·D³·n) ; flèche δ = F/k

Contrainte : τ = K_w·8·F·D/(π·d³)

Hypothèses : Ressort hélicoïdal cylindrique à fil rond, spires actives n, matériau élastique. K_w corrige courbure + cisaillement direct.

Domaine de validité : Domaine élastique. R_m du fil = A/d^m (constantes matériau tabulées).

Ressort de traction

Identique au ressort de compression (C, K_w, k, τ)

Tension initiale : F = F_i + k·x ⇒ x = (F − F_i)/k

Hypothèses : Ressort hélicoïdal à fil rond, spires jointives avec tension initiale F_i.

Domaine de validité : Domaine élastique. Le crochet (concentration de contrainte) n'est pas vérifié.

Ressort de torsion

Le fil travaille en flexion. Raideur : k_θ = E·d⁴/(64·D·n)

Contrainte : σ = K_b·32·M/(π·d³), K_b = (4C²−C−1)/(4C(C−1))

Hypothèses : Ressort hélicoïdal à fil rond chargé en moment. K_b corrige la concentration en fibre interne.

Domaine de validité : Domaine élastique. σ_adm = 0,6·R_m.

Vis de manœuvre

Angle d'hélice : tanα = P_h/(π·d₂) ; frottement effectif μ′ = μ/cos(β/2)

Couple montée : C_m = F·(d₂/2)·(P_h + π·μ′·d₂)/(π·d₂ − μ′·P_h)

Rendement : η = tanα·(1 − μ′·tanα)/(tanα + μ′) ; autobloquant si μ′ ≥ tanα

Hypothèses : Filet trapézoïdal (angle β) ou vis à billes (η ≈ 0,9). Frottement μ donné.

Domaine de validité : Vis mère de translation. Le flambement de la vis et le matage de l'écrou sont à vérifier à part.

Fluides & thermique

Bernoulli & continuité

Continuité : A₁·v₁ = A₂·v₂

Bernoulli : p + ½·ρ·v² + ρ·g·z = constante

Torricelli : v = √(2·g·h) ; débit orifice Q = C_d·A·v

Hypothèses : Fluide incompressible, écoulement permanent le long d'une ligne de courant, pertes en terme séparé.

Domaine de validité : Écoulements idéaux (+ pertes ajoutées). C_d ≈ 0,62 pour un orifice.

Nombre de Reynolds

Re = ρ·v·D/µ = v·D/ν

Régimes : laminaire Re < 2300, transition 2300–4000, turbulent > 4000

Hypothèses : Conduite circulaire pleine, fluide newtonien.

Domaine de validité : Seuils valables en conduite (autres géométries : seuils différents).

Pertes de charge (Darcy)

Darcy-Weisbach : ΔH_lin = f·(L/D)·v²/(2g)

Frottement : laminaire f = 64/Re ; turbulent (Swamee-Jain) f = 0,25/[log₁₀(ε/(3,7D) + 5,74/Re^0,9)]²

Singulières : ΔH_sing = ΣK·v²/(2g)

Hypothèses : Conduite circulaire pleine, fluide newtonien. Swamee-Jain valable Re > 4000 (±3 %).

Domaine de validité : Domaine ε/D 10⁻⁶–0,05, Re 5·10³–10⁸.

Poiseuille / Couette

Poiseuille (conduite) : Q = π·Δp·R⁴/(8µL) ; v_max = Δp·R²/(4µL) ; v_moy = v_max/2

Couette (cisaillement) : τ = µ·U/h (loi de Newton de la viscosité)

Hypothèses : Écoulement laminaire, permanent, fluide newtonien incompressible.

Domaine de validité : Poiseuille : conduite cylindrique, régime laminaire (Re < 2300).

Dimensionnement de pompe

Puissance hydraulique : P_h = ρ·g·Q·H

Puissance à l'arbre : P_arbre = P_h/η

Hypothèses : Régime permanent, rendement global η donné.

Domaine de validité : Estimation de la puissance à installer (hors NPSH, hors courbe de pompe).

Vérin hydraulique / pneumatique

Sections : S_p = π·D²/4 ; S_a = π(D²−d²)/4 (côté tige)

Efforts : F_poussée = p·S_p ; F_traction = p·S_a

Vitesses : v = Q/S

Hypothèses : Pression uniforme, rendement 100 % (efforts théoriques), fluide incompressible.

Domaine de validité : Efforts et vitesses théoriques. Le flambement de la tige est à vérifier séparément.

Conduction thermique (Fourier)

Flux : Φ = λ·S·ΔT/e

Résistance : R = e/(λ·S)

Densité de flux : q = λ·ΔT/e

Hypothèses : Conduction 1D permanente, paroi plane homogène, λ constant, sans convection/rayonnement.

Domaine de validité : Régime stationnaire, paroi simple. Les résistances de convection ne sont pas incluses.

Dilatation & contrainte thermique

Allongement libre : ΔL = α·L₀·ΔT

Contrainte si bridé : σ = E·α·ΔT ; effort F = σ·S

Hypothèses : Dilatation linéaire (petit ΔT), α et E constants ; « bridé » = déformation totalement empêchée.

Domaine de validité : Petits écarts de température, domaine élastique.

Électricité & électronique

Loi d'Ohm & Joule

Ohm : U = R·I ; puissance (Joule) : P = U·I = R·I²

Hypothèses : Dipôle ohmique linéaire, régime continu.

Domaine de validité : Résistances linéaires (hors composants non ohmiques).

Résistances équivalentes

Série : R_éq = Σ R_i

Parallèle : 1/R_éq = Σ (1/R_i)

Hypothèses : Associations idéales de résistances.

Domaine de validité : Réseaux résistifs purs.

Théorème de Millman

Potentiel de nœud : V = Σ(E_i/R_i) / Σ(1/R_i)

Courant de branche : I_i = (E_i − V)/R_i

Hypothèses : Branches en parallèle, chacune source E_i + résistance série R_i, même référence de potentiel.

Domaine de validité : Réseaux linéaires à un nœud principal.

Diviseur de tension

V_out = V_in·R₂/(R₁+R₂) ; I = V_in/(R₁+R₂)

Hypothèses : Sortie à vide (pas de charge en parallèle sur R₂).

Domaine de validité : Une charge en sortie modifie le rapport : vérifier l'impédance de charge.

Filtre RC

Fréquence de coupure : f_c = 1/(2π·R·C) ; τ = R·C

Passe-bas : |H| = 1/√(1+(f/f_c)²) ; gain [dB] = 20·log₁₀|H| ; −3 dB à f_c

Hypothèses : Filtre RC du premier ordre, sortie à vide.

Domaine de validité : Premier ordre. À f_c : −3 dB, déphasage ±45°.

Charge / décharge RC

Constante de temps : τ = R·C

Charge : V_c(t) = V·(1 − e^(−t/τ)) ; décharge : V_c(t) = V·e^(−t/τ)

Hypothèses : Régime transitoire du premier ordre, source idéale.

Domaine de validité : Repères : 63,2 % à τ, 95 % à 3τ, 99,3 % à 5τ.

Amplificateur opérationnel

Inverseur : G = −R₂/R₁

Non-inverseur : G = 1 + R₂/R₁ ; V_s = G·V_e (saturé à ±V_cc)

Hypothèses : AOP idéal en régime linéaire (gain infini, entrées sans courant), contre-réaction négative.

Domaine de validité : Régime linéaire ; saturation à l'alimentation.

Résistance série de LED

R = (V_in − V_f)/I

Puissance dissipée : P = R·I² = (V_in − V_f)·I

Hypothèses : LED en série avec R, tension directe V_f donnée (dépend de la couleur), courant I choisi.

Domaine de validité : Alimentation continue. V_f dépend du composant réel (datasheet).

Loi de Coulomb

Force : F = k·|q₁·q₂|/r² (k = 1/4πε₀ = 8,988·10⁹)

Champ d'une charge : E = k·|q|/r²

Hypothèses : Charges ponctuelles dans le vide (ou air).

Domaine de validité : Électrostatique, charges ponctuelles.

Condensateur plan

Capacité : C = ε₀·εᵣ·S/d

Charge : Q = C·V ; énergie : U = ½·C·V² ; champ : E = V/d

Hypothèses : Armatures planes parallèles, champ uniforme (effets de bord négligés).

Domaine de validité : d ≪ dimensions des armatures.

Champ magnétique

Fil infini : B = µ₀·I/(2π·r)

Solénoïde : B = µ₀·n·I/L (µ₀ = 4π·10⁻⁷)

Hypothèses : Fil rectiligne infini ou solénoïde long (champ uniforme au centre).

Domaine de validité : Idéalisations (fil infini, solénoïde long).

Force de Lorentz

F = q·(E + v×B)

Composante magnétique : F_m = q·v·B·sinθ

Hypothèses : Charge ponctuelle dans des champs E et B donnés.

Domaine de validité : Une seule charge (hors effets collectifs).

Induction de Faraday

FEM : e = −N·dΦ/dt (loi de Lenz)

Cadre tournant : e_max = N·B·S·ω

Hypothèses : N spires, flux Φ = B·S. Cadre : rotation à ω constante.

Domaine de validité : Circuit filiforme, flux uniforme sur la surface.

Section de câble (NF C 15-100)

Courant d'emploi : Ib = P/(U·cosφ) (mono) ou P/(√3·U·cosφ) (tri)

Section (chute de tension) : S = k·ρ·L·Ib·cosφ/ΔU, k = 2 (mono) ou √3 (tri)

Pertes Joule : P_J = n·(ρL/S)·Ib²

Hypothèses : Régime établi, ΔU admissible réglementaire (3 % éclairage, 5 % autres), déclassement K1·K2·K3.

Domaine de validité : Tables I_z simplifiées (NF C 15-100) — valeurs indicatives à recouper au projet.

Fabrication

Développement de tôle

Bend allowance : BA = θ_rad·(R + K·t) (K = facteur K, fibre neutre)

Développé : L = L₁ + L₂ + BA

Effort de pliage (estimation) : F ≈ 1,33·R_m·L₁·t²/V, V ≈ 8·t

Hypothèses : Pliage à l'air, facteur K = position de la fibre neutre (≈ 0,33 usuel).

Domaine de validité : L'effort de pliage est une estimation empirique (matériau, outil, jeu réels à valider).

Vitesses de coupe

Fréquence de rotation : n = 1000·V_c/(π·D)

Avance : V_f = f_z·Z·n (fraisage) ou f·n (tournage/perçage)

Hypothèses : V_c convention V60 (Taylor, durée d'outil ~60 min).

Domaine de validité : Valeurs de V_c et d'avance tabulées = données catalogue/cours, indicatives (matière, outil, arrosage).

Impression 3D

Coût d'impression 3D

Coût = matière + électricité + amortissement + provision d'échec

Provision : coût·(1/(1−taux_échec) − 1) ; prix = coût·marge

Volume STL : V = |Σ (a·(b×c))/6| (tétraèdres signés)

Hypothèses : Le modèle de coût est une définition comptable (somme transparente). Seul le volume STL est un calcul géométrique.

Domaine de validité : Volume STL exact (maillage fermé). Coût = paramètres saisis (prix matière, tarif élec, machine).

Jeux d'impression 3D

Cote CAO = Ø + jeu_visé + rétreint

Rétreint = min(0,1 + 0,01·d ; 0,5) (+0,1 si horizontal)

Hypothèses : Règle empirique FDM (compensation du trou constatée, effet « elephant foot »), pas une loi physique.

Domaine de validité : ⚠️ Point de départ à calibrer : dépend de l'imprimante, du matériau et des réglages. Imprimez un gabarit de test.

Insert à chaud

Ø perçage = OD_insert + offset matériau (PLA −0,3 ; PETG/ABS −0,2)

Force d'arrachement (estimation) : F_pull = k·(h−1)·d (k : PLA 12, PETG 15, ABS 14)

Hypothèses : Ø perçage = recommandations fabricants / essais CNC Kitchen. F_pull = corrélation empirique.

Domaine de validité : ⚠️ F_pull est une estimation indicative (non garantie) : à valider par essai pour un usage structural.

Automatisme

Fonction de transfert

2ⁿᵈ ordre : dépassement %D = e^(−ζπ/√(1−ζ²))·100

Temps de pic : t_p = π/(ω_n·√(1−ζ²)) ; t_r(±5 %) = 3/(ζ·ω_n)

Bode : marge de phase PM, marge de gain GM

Hypothèses : Systèmes linéaires. Réponse temporelle simulée par intégration numérique (RK4), validée sur les formules analytiques.

Domaine de validité : Systèmes du 1ᵉʳ/2ⁿᵈ ordre ; marges de stabilité par Bode.

Réglage PID (Ziegler-Nichols)

Depuis K_u (gain critique) et T_u (période critique) :

PID : K_p = 0,6·K_u, T_i = 0,5·T_u, T_d = 0,125·T_u

Puis K_i = K_p/T_i, K_d = K_p·T_d

Hypothèses : Méthode du gain critique en boucle fermée (Ziegler-Nichols, 1942).

Domaine de validité : Réglage de départ souvent agressif (dépassement élevé) — à affiner selon le procédé.

Outil transverse

Convertisseur d'unités

Conversion via un facteur vers l'unité SI puis vers l'unité cible

Température : transformation affine (°C pivot), ex. °F→°C = (°F − 32)·5/9

Hypothèses : Facteurs de conversion exacts (valeurs SI / NIST SP 811).

Domaine de validité : Force, couple, pression, puissance, énergie, longueur, masse, vitesse, débit, volume, température.

Dernière mise à jour : 24/08/2026.