Quelle est la différence entre Kt et Kf ?

Kt est le facteur théorique de concentration de contrainte (purement géométrique). Kf est le facteur effectif d'entaille en fatigue, qui tient compte de la sensibilité à l'entaille du matériau (q = (Kf−1)/(Kt−1)). Pour un matériau ductile, Kf < Kt ; pour un matériau fragile, Kf ≈ Kt. Utilisez Kt comme entrée du diagramme de Goodman dans le calculateur de fatigue.

Pourquoi Kt = 3 pour un trou dans une plaque infinie ?

C'est la solution analytique de Kirsch (1898) pour un trou circulaire dans une plaque infinie soumise à une traction uniforme. Au bord du trou, la contrainte circonférentielle vaut σ_θ = σ(1 + 2·cos(2θ)), avec un maximum de 3σ aux points A et B (θ = ±90°). C'est un résultat fondamental qui illustre que la contrainte locale peut être trois fois supérieure à la contrainte nominale.

Hypothèses et limites ?

Kt est un facteur théorique en élasticité linéaire, pour une pièce isotrope sous chargement statique de traction. Deux précautions : Kt doit être appliqué à la bonne section de référence (section nette pour la plaque trouée, petite section pour l'épaulement), et il n'est valable que dans le domaine géométrique de l'ajustement, affiché par le calculateur. Au-delà de la limite élastique, la plasticité redistribue les contraintes et le pic réel est plus faible que Kt·σnom. En fatigue, c'est le facteur effectif Kf, inférieur à Kt, qui s'applique.

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Concentration de contraintes Kt

FACTEUR D'ENTAILLE · PETERSON

Configuration

Le facteur Kt est théorique (géométrique). Pour l'utiliser en fatigue, combinez-le avec la sensibilité à l'entaille q du matériau (Kf = 1 + q·(Kt−1)).

Contrainte nominale σ_nom (MPa)

Largeur plaque W (mm)

Diamètre du trou d (mm)

zone de concentration

Résultats

Facteur de concentration K_t

—

Contrainte max σ_max

—

Contrainte nom. σ_nom

—

Rapport géométrique—

Domaine—

Configuration—

Référence—

Aide au prédimensionnement — Les Kt sont des ajustements polynomiaux publiés des abaques de Peterson. Attention à la section de référence : pour la plaque trouée σ_nom se calcule sur la section nette (W−d)·ép ; pour l'épaulement sur la petite section π·d²/4. Un Kt appliqué à la mauvaise section n'a aucun sens. Hors du domaine de validité affiché, la valeur est extrapolée et n'est pas fiable. Kt ne tient pas compte de la plasticité : si σ_max dépasse la limite élastique, la redistribution plastique réduit le pic réel. Alimente le calcul de fatigue. Conditions d'utilisation.

Concentration de contraintes

La présence d'une entaille, d'un trou ou d'un changement de section crée une perturbation locale de l'écoulement des contraintes. La contrainte maximale au fond de l'entaille est supérieure à la contrainte nominale :

σ_max = K_t · σ_nom

Formules utilisées

Plaque trouée en traction — trou de diamètre d dans une plaque de largeur W. K_t est rapporté à la section nette, c'est-à-dire σ_nom = F / ((W − d)·épaisseur) :

K_t = 3 − 3,13·(d/W) + 3,66·(d/W)² − 1,53·(d/W)³ (domaine : d/W ≤ 0,5)

Ajustement polynomial de la solution de Howland, repris dans Peterson. Quand d/W → 0 on retrouve K_t = 3, la solution analytique de Kirsch pour le trou dans une plaque infinie.

Arbre épaulé avec congé, en traction axiale — avec h = (D − d)/2 la hauteur de l'épaulement et r le rayon de congé. K_t est rapporté à la petite section, soit σ_nom = 4F / (π·d²) :

K_t = C₁ + C₂·(2h/D) + C₃·(2h/D)² + C₄·(2h/D)³ (domaine : 0,1 ≤ h/r ≤ 20)

Les coefficients C₁ à C₄ sont des fonctions de √(h/r), avec deux jeux selon que h/r est inférieur ou supérieur à 2. Ils sont donnés par les ajustements de Peterson / Pilkey des abaques de congé d'épaulement.

Sources

Références : Peterson's Stress Concentration Factors, W. D. Pilkey, Wiley — congés d'épaulement (arbre épaulé en traction) et plaque trouée. Solution de Kirsch (1898) pour le trou en plaque infinie.

Contrôle numérique : plaque infinie (d/W→0) : K_t → 3 ✓. Plaque d/W = 0,2 : K_t = 2,508. Arbre épaulé D/d = 1,5 et r/d = 0,1 : le calculateur donne K_t = 1,86, à comparer aux ~1,85–1,90 lus sur l'abaque de Peterson ✓.

Configuration retirée : la gorge en U a été retirée de ce calculateur. La formule précédemment employée (1 + 2·√(t/r)) est celle d'une ellipse dans une plaque infinie et ne s'applique pas à une gorge d'arbre ; nous préférons ne rien afficher plutôt qu'une valeur non sourcée. Elle reviendra une fois l'abaque adéquat obtenu. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.

Guide — Concentration de contraintes Kt

Kt pour la fatigue

En fatigue, le facteur effectif d'entaille Kf dépend du matériau :

K_f = 1 + q · (K_t − 1)

où q = sensibilité à l'entaille (0 ≤ q ≤ 1). Pour les aciers, q ≈ 1/(1 + √(a/r)) où a ≈ 0,25 mm (acier à haute résistance) à 0,8 mm (acier doux).

Quand Kt est-il critique ?

Les fortes concentrations (Kt > 2) sont particulièrement dangereuses pour les matériaux fragiles et en fatigue. Les matériaux ductiles supportent mieux les concentrations car la plastification locale redistribue les contraintes (accommodation).

Exemple : plaque trouée
Plaque W = 100 mm, trou d = 20 mm, σ_nom = 100 MPa.
d/W = 0,2 → K_t = 2,51.
σ_max = 2,51 × 100 = 251 MPa.
Si R_e = 355 MPa (S355) : σ_max < R_e en statique → OK, mais en fatigue, l'endurance est divisée par Kf.

Questions fréquentes

Comment réduire Kt ?

Augmenter le rayon de congé r, réduire le rapport D/d, éloigner les entailles des bords, ajouter des congés de décharge. Une règle pratique : r/d ≥ 0,15 pour Kt < 2.