Qu'est-ce que la limite d'endurance ?

La limite d'endurance Se est la contrainte alternative maximale qu'un matériau peut supporter un nombre infini de cycles sans rompre. Pour les aciers, on estime Se ≈ 0,5·Rm (jusqu'à 10⁷ cycles). Les alliages d'aluminium n'ont pas de vraie limite d'endurance : on parle d'endurance à 5·10⁸ cycles.

Quelle est la différence entre Goodman et Soderberg ?

Le critère de Goodman utilise la résistance Rm comme point de référence pour la contrainte moyenne : Sa/Se + Sm/Rm = 1. Soderberg utilise la limite élastique Re : Sa/Se + Sm/Re = 1. Soderberg est plus conservateur (sûr), Goodman est plus réaliste pour les matériaux ductiles. L'Eurocode 3 utilise une approche différente (EN 1993-1-9).

La règle de Miner est-elle fiable ?

La règle de Miner (cumul linéaire D = Σ(Ni/Nfi)) est simple mais approximative. D = 1 prédit la rupture, mais en pratique on observe D entre 0,3 et 3 selon l'ordre d'application des charges et les contraintes résiduelles. On utilise souvent D = 0,5 comme critère de sécurité.

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Fatigue mécanique

WÖHLER · GOODMAN · MINER

Résistance à la traction Rm (MPa)

Limite élastique Re (MPa, pour Soderberg)

Contrainte alternative σ_a (MPa)

Contrainte moyenne σ_m (MPa)

Correction de contrainte moyenne

Goodman : Sa/Se + Sm/Rm = 1. Soderberg : Sa/Se + Sm/Re = 1 (plus conservateur). « Aucun » : contrainte alternative seule.

zone de sécurité

Résultats

Limite d'endurance S_e ≈ 0,5·Rm

—

σ_a corrigée (Goodman/Soderberg)

—

Durée de vie estimée N (cycles)

—

Rapport S_a/S_e corrigé—

Exposant b de Wöhler (≈ −0,09 à −0,15)−0,10

Endurance à 10⁷ cycles—

Critère—

Aide au prédimensionnement — Estimation basée sur la courbe S-N simplifiée S = a·Nb avec a = (0,9·Rm)²/Se et b = −(1/3)·log₁₀(0,9·Rm/Se). La limite d'endurance Se ≈ 0,5·Rm est valable pour les aciers (Rm < 1400 MPa), surfaces polies. Multipliez Se par les coefficients de correction (finition, taille, charge, fiabilité, température) pour une estimation plus fine — non couverts ici. Conditions d'utilisation.

Courbe S-N (Wöhler)

La courbe de Wöhler (ou S-N) relie la contrainte alternative S au nombre de cycles à rupture Nf par une loi puissance :

S = a · N^b avec a = (0,9·Rm)² / Se et b = −(1/3)·log₁₀(0,9·Rm / Se)

Pour les aciers, la courbe présente un coude (genou) vers 10⁶–10⁷ cycles : au-dessous de la limite d'endurance Se, la pièce peut supporter un nombre infini de cycles. Ce calculateur estime Se ≈ 0,5·Rm pour les aciers courants. Les alliages d'aluminium n'ont pas de limite d'endurance vraie (la courbe descend continûment).

Influence de la contrainte moyenne

La courbe S-N classique suppose une contrainte moyenne nulle (σm = 0). En présence d'une contrainte moyenne non nulle, on corrige la contrainte alternative par un critère :

Goodman : S_a,cor = S_a / (1 − S_m/Rm) Soderberg : S_a,cor = S_a / (1 − S_m/Re)

Goodman est le plus utilisé (bon compromis entre précision et simplicité). Soderberg est plus conservateur car il utilise la limite élastique Re au lieu de la résistance Rm.

Règle de Miner (endommagement cumulé)

Pour une pièce soumise à plusieurs niveaux de contrainte, l'endommagement total s'ajoute linéairement :

D = Σ(Ni / Nfi) → rupture quand D ≥ 1

Ni = nombre de cycles appliqués au niveau i, Nfi = nombre de cycles à rupture à ce niveau. La règle de Miner est approximative : en pratique, la rupture survient pour D entre 0,3 et 3 selon l'ordre des chargements. On utilise souvent D = 0,5 comme critère de sécurité.

Hypothèses et limites

Courbe S-N pour aciers (estimation Se = 0,5·Rm). N'inclut pas les coefficients de correction de fatigue (finition de surface — le plus influent, taille, type de charge, température, fiabilité). Ne remplace pas les courbes S-N expérimentales du matériau réel. Pour la vérification réglementaire (EN 1993-1-9, fatigue des soudures, etc.), utilisez les normes applicables.

Sources, normes et références

Références : Wöhler (courbe S-N), critère de Goodman linéaire, critère de Soderberg, règle de Miner (cumul linéaire)

Hypothèses : Aciers (Rm < 1400 MPa), surface polie, charge axiale/alternée, température ambiante

Domaine de validité : Fatigue oligocyclique (N < 10³) à endurance (N ≈ 10⁷). Ne couvre pas la fatigue de contacts, thermique ou vibratoire

Vérification : Formules en cours de vérification par le propriétaire. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.

Démarche en fatigue

L'estimation de durée de vie en fatigue suit 4 étapes :

Limite d'endurance : Se ≈ 0,5·Rm pour aciers (corriger par coefficients de surface, taille, charge, fiabilité dans un calcul avancé)
Contrainte alternative : déterminer σa (amplitude) et σm (moyenne) du cycle de chargement
Correction de Goodman : σa,cor = σa / (1 − σm/Rm)
Durée de vie : N = (σa,cor / a)^(1/b) si σa,cor > Se ; sinon N = ∞

Exemple chiffré
Acier Rm = 600 MPa, Re = 355 MPa. Se ≈ 0,5×600 = 300 MPa.
Soit σa = 200 MPa et σm = 100 MPa.
Goodman : σa,cor = 200/(1−100/600) = 200/(1−0,167) = 240 MPa.
a = (0,9×600)²/300 = 291600/300 = 972 ; b = −(1/3)·log₁₀(540/300) = −(1/3)·0,255 = −0,085.
N = (240/972)^(1/−0,085) = 0,247^(−11,76) ≈ 2,7×10⁶ cycles.
Avec Soderberg : σa,cor = 200/(1−100/355) = 200/0,718 = 278 MPa → N ≈ 1,4×10⁵ cycles (plus conservateur).

Questions fréquentes

Quels facteurs réduisent le plus la limite d'endurance ?

La finition de surface est le premier facteur : une pièce brute de forge ou de fonderie peut voir sa limite d'endurance réduite de 30 à 50 % par rapport à une pièce polie. Viennent ensuite la taille (pièces massives), la température, la corrosion et les contraintes résiduelles.

Pourquoi la rupture en fatigue est-elle brutale ?

La fissure de fatigue naît sur un défaut (micro-inclusion, rayure, congé de raccordement) et progresse à chaque cycle, sans déformation plastique visible. Quand la section restante ne peut plus supporter la charge, la rupture finale est instantanée — d'où le danger : pas d'avertissement.

Que faire si N > 10⁷ cycles et σa,cor > Se ?

Cela signifie que la contrainte corrigée dépasse la limite d'endurance mais que la durée de vie prédite est très grande. En pratique, pour les aciers, on considère qu'au-delà de 10⁷ cycles, la pièce peut tenir indéfiniment si σa,cor ≤ Se. Si σa,cor > Se, la rupture finira par arriver — révisez la géométrie ou le matériau.