Qu'est-ce que la formule de Willis ?

La formule de Willis (1841) relie les vitesses angulaires relatives : (ω_planétaire − ω_porte-sat) / (ω_couronne − ω_porte-sat) = −Z_couronne / Z_planétaire. Elle permet de déterminer le rapport de transmission en bloquant un élément.

Quels sont les 3 cas classiques ?

Cas 1 : Planétaire menant, couronne bloquée → réduction. Cas 2 : Couronne menante, planétaire bloqué → réduction. Cas 3 : Porte-satellites menant, couronne bloquée → surmultiplication.

Hypothèses et limites ?

Cinématique pure par la formule de Willis, avec la condition d'engrènement Zc = Zp + 2·Zs. Le rendement est supposé parfait : un train épicycloïdal réel perd quelques pourcents par étage, et bien davantage dans les configurations très démultipliées où le rendement peut s'effondrer, jusqu'à l'irréversibilité. Ne sont vérifiées ni la condition de montage (équirépartition des satellites sur la circonférence), ni la tenue des dentures (pression de contact, flexion en pied de dent), ni les efforts sur les paliers de satellites.

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Train épicycloïdal

WILLIS · PLANÉTAIRE · COURONNE · PORTE-SATELLITES

Entrée N_e

Sortie N_s

Le 3^e élément est automatiquement bloqué.

Dents planétaire Z_p

Dents couronne Z_c

Dents satellite Z_s

Vérification : Z_c = Z_p + 2·Z_s (condition d'engrènement).

Vitesse d'entrée N_e (tr/min)

Résultats

Rapport de transmission i

—

Vitesse de sortie N_s

—

Vitesse planétaire N_p—

Vitesse couronne N_c—

Vitesse porte-satellites N_ps—

Condition Z_c = Z_p + 2·Z_s—

Référence—

Formule de Willis — (ω_p − ω_ps) / (ω_c − ω_ps) = −Z_c/Z_p, avec la condition d'engrènement Z_c = Z_p + 2·Z_s. Cinématique pure : le rendement est supposé parfait, alors qu'un train épicycloïdal réel perd quelques pourcents par étage, davantage en configuration très démultipliée. La condition de montage (équirépartition des satellites) et la tenue des dentures ne sont pas vérifiées ici. Aide au prédimensionnement : résultats indicatifs, à valider par un professionnel. Conditions d'utilisation.

Train épicycloïdal simple

Un train épicycloïdal (ou train planétaire) est composé d'un planétaire (soleil), d'une couronne et de satellites montés sur un porte-satellites. La formule de Willis relie les vitesses :

(ω_p − ω_ps) / (ω_c − ω_ps) = − Z_c / Z_p

Choisissez librement l'élément d'entrée, l'élément de sortie et le 3^e est bloqué. Exemples classiques :

Planétaire → porte-satellites (couronne bloquée) : i = 1 + Z_c/Z_p (réducteur)
Couronne → porte-satellites (planétaire bloqué) : i = 1 + Z_p/Z_c (réducteur)
Porte-satellites → planétaire (couronne bloquée) : i = 1 / (1 + Z_c/Z_p) (surmultiplicateur)

Les cas planétaire ↔ couronne (porte-satellites bloqué) donnent une sortie à sens inversé.

Condition d'engrènement

Le satellite doit pouvoir s'engrener à la fois avec le planétaire et la couronne : Z_c = Z_p + 2·Z_s (module identique).

Sources

Références : Willis (1841). Principes de mécanique.

Hypothèses du modèle : engrenages parfaits sans jeu ni glissement, rendement de 100 % (pas de pertes par frottement), module identique pour tous les éléments engrenés (condition d'engrènement).

Domaine de validité : train épicycloïdal simple à un seul étage (un planétaire, une couronne, des satellites sur un porte-satellites) ; ne couvre pas les trains composés à plusieurs étages ni le rendement réel.

Vérification : formule de Willis, exacte par construction cinématique (relation de composition des vitesses angulaires) — vérifiable sur les trois cas classiques donnés ci-dessus (i = 1 + Zc/Zp, etc.), qui s'en déduisent directement en fixant l'élément bloqué. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.

Guide — Train épicycloïdal

Plusieurs satellites

Les satellites sont en parallèle : le couple se répartit équitablement entre eux (sous réserve d'une bonne répartition des jeux). Utilisez 3 à 5 satellites.

Couple sur les éléments

À l'équilibre : C_p + C_c + C_ps = 0 (sans pertes). Les couples sont liés par le rapport de transmission.

Toutes les combinaisons (Zp=20, Zc=60, Zs=20, Ne=1500 tr/min)

Entrée	Sortie	Bloqué	i	Ns (tr/min)	Sens
Planétaire	Porte-sat.	Couronne	4	375	Direct
Planétaire	Couronne	Porte-sat.	3	500	Inversé
Couronne	Porte-sat.	Planétaire	1,333	1125	Direct
Couronne	Planétaire	Porte-sat.	0,333	4500	Inversé
Porte-sat.	Planétaire	Couronne	0,25	6000	Direct
Porte-sat.	Couronne	Planétaire	0,75	2000	Direct