Ce calculateur résout-il les équations de Navier-Stokes ?

Non. Les équations de Navier-Stokes n'ont pas de solution analytique générale : le cas général relève de la simulation numérique (CFD). Ce calculateur ne traite que des cas simplifiés qui admettent une solution exacte connue : l'écoulement de Poiseuille (conduite circulaire) et l'écoulement de Couette (entre deux plaques).

Quelle est la particularité de l'écoulement de Poiseuille ?

L'écoulement de Poiseuille dans une conduite circulaire donne un profil de vitesse parabolique avec v_max = Δp·R²/(4µL) et v_moy = v_max/2. Le débit suit la loi Q = π·Δp·R⁴/(8µL) : doubler le rayon multiplie le débit par 16. Cette solution n'est valide qu'en régime laminaire (Re < 2300).

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Poiseuille / Couette

NAVIER-STOKES · SOLUTIONS ANALYTIQUES · ÉCOULEMENTS LAMINAIRES

Fluide — Eau 20 °C

Écoulement

Chute de pression Δp (Pa)

Rayon R (mm)

Longueur L (m)

Écoulement laminaire établi dans une conduite circulaire (solution exacte de Navier-Stokes en géométrie simplifiée). Profil de vitesse parabolique.

écoulement / grandeur calculée

Résultats — Poiseuille / Couette

—

Aide au prédimensionnement — Fluide newtonien incompressible, régime établi. Poiseuille suppose un écoulement laminaire (Re < 2300) ; au-delà, le profil n'est plus parabolique. Couette est valide en laminaire. Ces solutions exactes ne remplacent pas la simulation CFD pour les cas réels. Conditions d'utilisation.

Navier-Stokes, Poiseuille, Couette et la CFD

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement de tout fluide visqueux. Ce sont des équations aux dérivées partielles non linéaires sans solution analytique générale : dans le cas général (turbulence, géométries complexes), on ne les « résout » que numériquement, par simulation CFD (Computational Fluid Dynamics) — ce que ce site ne fait pas. Il existe cependant quelques cas simplifiés qui admettent une solution exacte, et ce sont ceux que propose cet outil :

Poiseuille (conduite) : Q = π·Δp·R⁴/(8·µ·L) ; v_max = Δp·R²/(4µL) ; v_moy = v_max/2

Couette (deux plaques, entrefer h, plaque mobile à U) : profil linéaire, τ = µ·U/h

L'écoulement de Poiseuille (laminaire, établi, conduite circulaire) donne le profil de vitesse parabolique et la fameuse dépendance en R⁴ — doubler le rayon multiplie le débit par 16. L'écoulement de Couette (cisaillement pur entre deux plaques) est le modèle de base de la lubrification et des paliers. Au-delà de ces cas d'école, il faut la CFD.

Hypothèses et limites

Fluide newtonien incompressible, régime permanent établi. Poiseuille suppose un écoulement laminaire (Re < 2300) ; au-delà, le profil n'est plus parabolique et la formule n'est plus valide. Non couverts : écoulements non newtoniens, conduites non circulaires, effets d'entrée, écoulements compressibles. Pour un dimensionnement définitif, une note de calcul détaillée s'impose.

Sources, normes et références

Normes : Solution exacte de Poiseuille (conduite circulaire laminaire), écoulement de Couette (cisaillement entre deux plaques).

Hypothèses du modèle : Fluide newtonien incompressible, régime permanent établi, conduite circulaire pleine (Poiseuille), plaques parallèles infinies (Couette).

Domaine de validité : Conduites sous pression, nombre de Reynolds < 2300 pour l'application de Poiseuille. Ne remplace pas la simulation CFD ni le calcul réglementaire.

Vérification : Formules en cours de vérification par le propriétaire. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.