Pression de Hertz
CONTACTS PONCTUELS & LINÉIQUES · ÉLASTIQUERouge : τmax de Hertz (charge statique). Point bleu : τ₀, cisaillement orthogonal alterné (fatigue de roulement). Choisir un traitement (colonne de gauche) superpose la résistance Re(z)/2 ; un cercle marque le dépassement (risque d'écaillage). Méthode détaillée dans le guide.
Le contact de Hertz en deux mots
Quand deux corps courbes se touchent, le contact théorique est un point ou une ligne : la pression y serait infinie. En réalité, les corps se déforment élastiquement et le contact devient une petite surface (cercle de rayon a pour un contact ponctuel, bande de demi-largeur b pour un contact linéique) sur laquelle la pression se répartit en dôme, avec un maximum pmax au centre :
Ces pressions atteignent couramment 1000 à 3000 MPa dans les roulements — bien au-delà de la limite élastique en traction — car le matériau sous le contact est confiné en compression triaxiale. Le point critique est le cisaillement maximal, situé sous la surface (≈ 0,3·pmax) : c'est là que s'amorce l'écaillage par fatigue de contact. En charge roulante (bille, rouleau, dent d'engrenage), c'est plutôt le cisaillement orthogonal alterné τ₀, qui change de signe à chaque passage du contact, qui pilote la durée de vie en fatigue — détail dans le guide.
Hypothèses et limites
Corps élastiques, surfaces lisses, contact statique sans glissement ni frottement, dimensions de contact petites devant les rayons. Non couvert : contacts avec roulement/glissement (ajouter les contraintes de traction en surface), lubrification élastohydrodynamique, revêtements minces, et matériaux non métalliques à fort fluage.
Sources, normes et références
Normes : Théorie du contact de Hertz (contact élastique entre solides courbes)
Hypothèses du modèle : Corps élastiques isotropes, surfaces lisses, contact statique sans glissement ni frottement, dimensions de contact petites devant les rayons de courbure
Domaine de validité : Contact sphère/sphère, sphère/plan, cylindre/cylindre, cylindre/plan, contact concave convexe. Ne couvre pas la fatigue de contact ni la lubrification élastohydrodynamique
Vérification (2026-07-18) : formules de contact (a, b, pmax, 1/R, 1/E*) et cisaillement sous-surface (pics à 0,31·pmax en z≈0,48·a pour la sphère, 0,30·pmax en z≈0,78·b pour le cylindre) confirmés conformes à Johnson, Contact Mechanics. Cisaillement orthogonal alterné τ₀ ≈ 0,25·pmax à z₀ ≈ 0,5·a (ou 0,5·b) recoupé sur deux sources tribologiques indépendantes (littérature de fatigue de roulement Lundberg-Palmgren). Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.
Guide — Pression de Hertz
Analyse en profondeur (écaillage sous-couche) — méthode détaillée
Le graphe « cisaillement en profondeur » enchaîne quatre étapes. Voici précisément chaque calcul, hypothèse et critère.
1 — Pression de contact (théorie de Hertz)
On calcule d'abord la pression maximale pmax et la dimension de contact (rayon a en ponctuel, demi-largeur b en linéique) :
2 — Cisaillement en fonction de la profondeur
Le long de l'axe de contact, on trace le cisaillement maximal τmax(z) = ½·|σz − σr|, exprimé en fraction de pmax. C'est lui, et non von Mises, qui gouverne l'amorçage des fissures d'écaillage.
Repères de validation : le pic vaut ≈ 0,31·pmax à z ≈ 0,48·a (sphère) et ≈ 0,30·pmax à z ≈ 0,78·b (cylindre) — valeurs classiques de la littérature (Johnson, Contact Mechanics). Le point rouge du graphe marque ce pic.
2bis — Cisaillement orthogonal alterné τ₀ (fatigue de roulement)
τmax gouverne la plastification en charge statique (un seul passage). Mais pour un contact qui roule (bille, rouleau, dent d'engrenage), un autre point matériel subit une contrainte de cisaillement orthogonale à la surface qui change de signe à chaque passage du contact — une sollicitation alternée, bien plus nocive en fatigue qu'une contrainte qui garde toujours le même signe. C'est cette contrainte, notée τ₀, que la théorie de fatigue de roulement de Lundberg-Palmgren utilise pour prédire la durée de vie (c'est par exemple la base de l'ISO 281 pour les roulements).
Le point bleu du graphe marque ce repère. Ce site n'implémente pas le calcul complet de durée de vie L10 sur ce critère (cela suppose un historique de charge et des coefficients matériau propres à Lundberg-Palmgren) — τ₀ est affiché comme indicateur de sollicitation, à comparer à la limite d'endurance en cisaillement du matériau si elle est connue.
3 — Résistance élastique en fonction de la profondeur
Un traitement thermique crée un profil de dureté : dur en surface, plus tendre à cœur. On le modélise par une décroissance linéaire de la dureté de surface HVsurf à la dureté à cœur HVcœur sur la profondeur de couche, puis constante au-delà. À chaque profondeur on convertit la dureté en limite de cisaillement admissible :
Critère retenu : la limite élastique (première plastification). En cisaillement pur, Tresca donne τ à la limite élastique = Re/2. Soit au total τadm(z) ≈ 1,485·HV(z).
4 — Détection de l'écaillage
On superpose τmax(z) (sollicitation) et τadm(z) (résistance locale). Là où τmax dépasse τadm, la matière plastifie sous la surface — c'est l'amorçage de l'écaillage (pitting/spalling). Le cas dangereux typique : une couche trop mince, dont la dureté chute avant la profondeur du pic de cisaillement. Le graphe cercle la première profondeur de dépassement et affiche la marge par corps.
Valeurs usuelles des traitements (indicatives — à ajuster à vos données)
Presets pré-remplissant des champs éditables : Nitruration (couche 0,3 mm, 750/300 HV) · Carbonitruration (0,3 mm, 700/300) · Cémentation (0,8 mm, 750/350) · Trempe induction (2,0 mm, 600/300). Ce sont des ordres de grandeur — saisissez les valeurs de votre gamme.
Hypothèses et limites de l'analyse en profondeur
Contact statique (pas de traction de surface due au roulement/glissement) ; contraintes prises sur l'axe du contact ; τ₀ affiché comme repère ponctuel (pic et profondeur), pas comme calcul complet de durée de vie L10 ; matériau isotrope ; contraintes résiduelles de compression du traitement négligées (elles sont favorables — l'analyse est donc conservative de ce côté) ; profil de dureté linéarisé ; conversions HV→Rm→Re approchées valables pour les aciers. C'est un outil de prédimensionnement, pas une justification normative de durée de vie.
Pourquoi un contact concentre les contraintes
Quand deux pièces se touchent sur une petite zone — une bille sur un chemin de roulement, une dent d'engrenage sur une autre, une came sur son poussoir — l'effort se concentre sur une surface minuscule. Les contraintes locales y atteignent des valeurs bien supérieures aux contraintes « nominales » du reste de la pièce. La théorie de Hertz calcule cette pression de contact et la taille de la zone de contact, à partir des rayons, de l'effort et des propriétés élastiques.
Les configurations de contact
La pression dépend fortement de la géométrie : un contact ponctuel (sphère/sphère, sphère/plan) concentre plus qu'un contact linéique (cylindre/plan, cylindre/cylindre). Le cas concave (bille dans une gorge, rouleau dans une bague) répartit mieux et abaisse la pression — c'est pourquoi les chemins de roulement sont conformes à la forme des éléments roulants. Plus les rayons sont grands et de même sens, plus la surface de contact augmente et plus la pression baisse.
La contrainte qui compte est sous la surface
Détail essentiel : la contrainte la plus dommageable n'est pas en surface mais juste en dessous. Le cisaillement maximal se situe à une faible profondeur sous le point de contact, à environ 0,3 fois la pression maximale. C'est là que s'amorcent les fissures de fatigue de contact (écaillage, « pitting ») qui détruisent progressivement roulements et engrenages. Dimensionner un contact, c'est donc limiter cette pression pour repousser l'apparition de la fatigue.
Réduire la pression de contact
Trois leviers : augmenter la surface de contact (rayons plus conformes, contact linéique plutôt que ponctuel), répartir l'effort (plus d'éléments roulants), ou choisir des matériaux plus durs qui tolèrent des pressions plus élevées (aciers de roulement trempés à ~60 HRC). C'est l'arbitrage permanent des concepteurs de transmissions.
Questions fréquentes
Pourquoi la pression peut-elle dépasser la limite élastique du matériau ?
Parce que le contact est confiné : le matériau sous la zone de contact est comprimé de tous côtés (état triaxial), ce qui lui permet de supporter des pressions bien supérieures à sa limite en traction simple. Les pressions admissibles de contact atteignent plusieurs milliers de MPa sur aciers trempés.
Ce calcul intègre-t-il la fatigue ?
Non : il donne la pression maximale de contact, pas la durée de vie. Pour la fatigue de contact d'un roulement, voir le calculateur de durée de vie L10. Le modèle suppose aussi des surfaces parfaitement lisses et un contact statique.