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Torsion d'arbre

CISAILLEMENT · ANGLE DE TORSION · PLEIN OU CREUX

Donnée d'entrée

Couple Mt (N·m)

Longueur L (mm)

Coef. de sécurité s

Section

Diamètre d (mm)

Matériau

Valeurs Re indicatives (dépendent du diamètre brut et de l'état de livraison — vérifiez le certificat matière). Module de cisaillement calculé : G = E / (2(1+ν)).

Angle de torsion admissible — 0,5 °/m

Vous cherchez la raideur ou le comportement vibratoire d'un arbre connu ? Voir la planche Raideur & amortissement d'arbre (PL.032).

couple appliqué Mt

Résultats du calcul

Contrainte de cisaillement τ_max

—

Angle de torsion

—

Taux d'utilisation

—

Couple Mt—

Module de torsion Wp—

Moment polaire Ip—

τ admissible = Re / (2s)—

Angle total θ sur L—

Critère dimensionnant—

Aide au prédimensionnement — Torsion pure d'un arbre circulaire (Saint-Venant), matériau élastique linéaire, couple statique. Les rainures de clavette, épaulements et gorges concentrent les contraintes (Kt ≈ 1,5 à 3) et les couples alternés imposent une vérification en fatigue : prévoir la marge en conséquence. Conditions d'utilisation.

Les deux critères du calcul en torsion

Un arbre en torsion se vérifie sur deux critères indépendants, et c'est souvent le second qui dimensionne. Le premier est la résistance : la contrainte de cisaillement maximale, atteinte à la surface de l'arbre, doit rester sous la limite admissible. Le second est la rigidité : un arbre trop souple se tord et dégrade la précision de la transmission (jeux angulaires, vibrations de torsion, positionnement).

τmax = Mt / Wp avec Wp = π·d³/16 (plein) ou Wp = π·(De⁴−Di⁴) / (16·De) (creux)

θ = Mt·L / (G·Ip) avec Ip = π·d⁴/32 (plein) ou Ip = π·(De⁴−Di⁴)/32 (creux)

La limite admissible en cisaillement dérive de la limite élastique en traction par le critère de Tresca : τe ≈ Re/2, d'où τadm = Re/(2s) avec s le coefficient de sécurité. Pour l'angle, les valeurs usuelles vont de 0,25 °/m (broches, transmissions de précision) à 1–2 °/m (mécanique courante).

Couple à partir de la puissance

Quand on connaît la puissance transmise plutôt que le couple, la conversion est directe : Mt = P/ω, soit avec les unités pratiques du bureau d'études :

Mt (N·m) = 9550 · P (kW) / N (tr/min)

C'est le couple nominal : pensez aux surcouples transitoires (démarrage moteur, à-coups, blocage) qui peuvent atteindre 2 à 3 fois le nominal — c'est précisément le rôle du coefficient de sécurité.

Pourquoi l'arbre creux est efficace

La contrainte de torsion est nulle au centre et maximale en surface : la matière du cœur travaille peu. Un tube De 40 / Di 32 conserve environ 59 % du module de torsion d'un arbre plein Ø 40 pour seulement 36 % de sa masse. C'est le principe des arbres de transmission automobile et des arbres télescopiques : à masse égale, le tube est nettement plus rigide et plus résistant en torsion.

Hypothèses et limites

Section circulaire constante, torsion pure (pas de flexion combinée — pour un arbre supportant aussi des efforts radiaux, engrenages ou poulies, il faut composer flexion et torsion, par exemple par Von Mises), régime statique. Les concentrations de contraintes (rainure de clavette : Kt ≈ 1,6 à 2 en torsion) et la fatigue ne sont pas prises en compte ici. Pour la raideur en torsion et les vibrations, voir la planche dédiée Raideur & amortissement d'arbre.