Raideur & amortissement d'arbre
ARBRE CONNU · RIGIDITÉ TORSION · VIBRATIONLongueur de l'arbre travaillant en torsion entre les deux liaisons (là où il se tord).
Module de cisaillement G = E / (2(1+ν)). La masse et l'inertie propre de l'arbre utilisent la masse volumique ρ (kg/m³).
Moment d'inertie du volant / disque / masse en bout d'arbre. Pour deux inerties (moteur J₁ + charge J₂), utilisez l'inertie équivalente J = J₁·J₂/(J₁+J₂). Laissez 0 pour ne calculer que la raideur et la section.
Un arbre acier nu est très peu amorti (ζ ≈ 0,3 à 0,8 %) : l'amortissement utile vient des accouplements, des paliers et des amortisseurs de torsion. ζ décrit ici l'ensemble arbre + liaisons.
L'arbre, un ressort de torsion
Un arbre de transmission n'est pas qu'un élément de résistance : c'est aussi un ressort de torsion. Sa raideur angulaire relie le couple à l'angle de rotation, et se calcule directement à partir de la géométrie et du module de cisaillement du matériau :
Cette raideur gouverne la précision d'une transmission (jeu angulaire sous couple), le comportement d'un asservissement (souplesse dans la boucle) et surtout la première fréquence propre de torsion.
Fréquence propre et vitesse critique
Associée à l'inertie J de la masse entraînée (volant, poulie, disque), la raideur forme un oscillateur de torsion dont la fréquence propre vaut fn = (1/2π)·√(kθ/J). La vitesse critique Nc = 60·fn est le régime où une excitation synchrone (balourd, à-coups d'engrènement, ordres moteur) entre en résonance avec ce mode : l'arbre doit fonctionner nettement à l'écart de cette vitesse (usuellement sous 0,7·Nc ou au-delà de 1,3·Nc). Pour deux inerties reliées par l'arbre (moteur + charge), on remplace J par l'inertie équivalente J₁·J₂/(J₁+J₂).
Le calcul suppose la masse de l'arbre négligeable devant J (modèle à une inertie). Quand ce n'est pas le cas, on ajoute environ le tiers de l'inertie propre de l'arbre (affichée dans les détails) à l'inertie entraînée.
Amortissement
L'amortissement mesure la vitesse à laquelle les oscillations de torsion s'éteignent. On le rapporte à l'amortissement critique c_c = 2·√(kθ·J) via le taux ζ = c/c_c :
Le décrément logarithmique δ donne l'atténuation d'une oscillation à la suivante (amplitudes dans le rapport eδ). Point clé : un arbre acier nu est très faiblement amorti (ζ de l'ordre de 0,3 à 0,8 %), ce qui rend la résonance d'autant plus dangereuse — le facteur d'amplification à la résonance vaut environ 1/(2ζ), soit ×60 à ×150. L'amortissement réellement utile est apporté par les accouplements élastiques, les paliers et, si nécessaire, un amortisseur de torsion dédié (volant bi-masse, amortisseur visqueux).
Hypothèses et limites
Modèle à une inertie, arbre-ressort de section circulaire constante et de masse propre négligée, amortissement visqueux linéaire. Non couvert : arbres à sections multiples (raideurs en série), modes supérieurs, couplage flexion/torsion, effets gyroscopiques, paliers souples. La partie résistance (contrainte de cisaillement, angle admissible) est traitée sur la planche Torsion d'arbre.
Sources, normes et références
Normes : Théorie des poutres (raideur en torsion kθ = G·Ip/L), calcul de fréquence propre et vitesse critique
Hypothèses du modèle : Arbre modélisé comme un système masse-ressort à un degré de liberté, amortissement visqueux linéaire, paliers rigides
Domaine de validité : Arbres cylindriques pleins ou creux en acier, rotation uniforme. Ne remplace pas une analyse modale complète pour les rotors complexes
Vérification (2026-07-18) : kθ=G·Ip/L, fréquence propre, vitesse critique et amortissement (formules de l'oscillateur à un degré de liberté) sont exactes par construction — confirmées par calcul à la main sur le cas par défaut (d=40mm, L=500mm, acier, J=0,02 kg·m² → kθ≈40,6 kN·m/rad, fn≈227 Hz). Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.
Guide — Raideur d'arbre
L'arbre, un ressort de torsion
Un arbre de transmission n'est pas infiniment rigide : sous couple, il se tord élastiquement comme un ressort. Sa raideur en torsion mesure le couple nécessaire pour le tordre d'un radian :
où G est le module de cisaillement du matériau, Ip le moment quadratique polaire de la section (∝ d⁴), et L la longueur. Cette raideur intervient dans la précision de position (un arbre trop souple « retarde » la réponse) et surtout dans le comportement dynamique.
Fréquence propre et vitesse critique
Tout système raideur + inertie possède une fréquence propre à laquelle il entre en résonance. Pour un arbre en rotation, il existe une vitesse critique : quand la vitesse de rotation coïncide avec la fréquence propre, les vibrations s'amplifient dangereusement (balourd amplifié, flèche qui diverge). On dimensionne pour que la vitesse de service reste éloignée de la vitesse critique — soit bien en dessous (arbre « rigide »), soit franchement au-dessus en la traversant rapidement (arbre « souple »).
L'amortissement
L'amortissement dissipe l'énergie de vibration et limite l'amplitude à la résonance. On le caractérise par l'amortissement critique (la limite entre oscillation et retour sans oscillation), l'amortissement effectif du système, et le décrément logarithmique (décroissance des oscillations libres successives). Un amortissement plus élevé aplatit et élargit le pic de résonance, rendant le passage de la vitesse critique moins violent.
Questions fréquentes
Comment éloigner la vitesse critique ?
En jouant sur la raideur (diamètre, longueur, matériau) et l'inertie (masses en bout). Raccourcir l'arbre ou l'épaissir monte la fréquence propre ; alléger les masses en rotation aussi.
Ce calcul remplace-t-il une analyse modale ?
Non : il donne les grandeurs principales pour un arbre simple. Un rotor réel (plusieurs masses, paliers souples, effets gyroscopiques) demande une analyse modale complète.