Raideur & amortissement d'arbre

ARBRE CONNU · RIGIDITÉ TORSION · VIBRATION

Section de l'arbre

Diamètre d (mm)

Longueur libre en torsion L (mm)

Longueur de l'arbre travaillant en torsion entre les deux liaisons (là où il se tord).

Matériau

Module de cisaillement G = E / (2(1+ν)). La masse et l'inertie propre de l'arbre utilisent la masse volumique ρ (kg/m³).

Inertie entraînée J (kg·m²)

Moment d'inertie du volant / disque / masse en bout d'arbre. Pour deux inerties (moteur J₁ + charge J₂), utilisez l'inertie équivalente J = J₁·J₂/(J₁+J₂). Laissez 0 pour ne calculer que la raideur et la section.

Taux d'amortissement ζ — 0,5 %

Un arbre acier nu est très peu amorti (ζ ≈ 0,3 à 0,8 %) : l'amortissement utile vient des accouplements, des paliers et des amortisseurs de torsion. ζ décrit ici l'ensemble arbre + liaisons.

arbre-ressort de torsion + inertie J

Raideur & vibration

Raideur en torsion k_θ = G·Ip / L

—

Fréquence propre f_n

—

Vitesse critique N_c

—

Aire de section A—

Masse de l'arbre m = ρ·A·L—

Moment polaire Ip / module Wp—

Inertie propre de l'arbre J_arbre—

Pulsation propre ω_n = √(k_θ/J)—

Amortissement critique c_c = 2·√(k_θ·J)—

Amortissement effectif c = ζ·c_c—

Décrément logarithmique δ—

Aide au prédimensionnement — Modèle à une inertie concentrée sur un arbre-ressort sans masse propre (masse de l'arbre négligée devant J), section circulaire constante, amortissement visqueux linéaire. Pour la vérification en contrainte (torsion), voir la planche Torsion d'arbre. Conditions d'utilisation.

L'arbre, un ressort de torsion

Un arbre de transmission n'est pas qu'un élément de résistance : c'est aussi un ressort de torsion. Sa raideur angulaire relie le couple à l'angle de rotation, et se calcule directement à partir de la géométrie et du module de cisaillement du matériau :

kθ = Mt / θ = G·Ip / L (N·m/rad) avec Ip = π·d⁴/32 (plein) ou π·(De⁴−Di⁴)/32 (creux)

Cette raideur gouverne la précision d'une transmission (jeu angulaire sous couple), le comportement d'un asservissement (souplesse dans la boucle) et surtout la première fréquence propre de torsion.

Fréquence propre et vitesse critique

Associée à l'inertie J de la masse entraînée (volant, poulie, disque), la raideur forme un oscillateur de torsion dont la fréquence propre vaut fn = (1/2π)·√(kθ/J). La vitesse critique Nc = 60·fn est le régime où une excitation synchrone (balourd, à-coups d'engrènement, ordres moteur) entre en résonance avec ce mode : l'arbre doit fonctionner nettement à l'écart de cette vitesse (usuellement sous 0,7·Nc ou au-delà de 1,3·Nc). Pour deux inerties reliées par l'arbre (moteur + charge), on remplace J par l'inertie équivalente J₁·J₂/(J₁+J₂).

fn = (1/2π)·√(kθ/J) · Nc = 60·fn (tr/min)

Le calcul suppose la masse de l'arbre négligeable devant J (modèle à une inertie). Quand ce n'est pas le cas, on ajoute environ le tiers de l'inertie propre de l'arbre (affichée dans les détails) à l'inertie entraînée.

Amortissement

L'amortissement mesure la vitesse à laquelle les oscillations de torsion s'éteignent. On le rapporte à l'amortissement critique c_c = 2·√(kθ·J) via le taux ζ = c/c_c :

c = ζ · 2·√(kθ·J) · décrément logarithmique δ = 2π·ζ / √(1−ζ²)

Le décrément logarithmique δ donne l'atténuation d'une oscillation à la suivante (amplitudes dans le rapport e^δ). Point clé : un arbre acier nu est très faiblement amorti (ζ de l'ordre de 0,3 à 0,8 %), ce qui rend la résonance d'autant plus dangereuse — le facteur d'amplification à la résonance vaut environ 1/(2ζ), soit ×60 à ×150. L'amortissement réellement utile est apporté par les accouplements élastiques, les paliers et, si nécessaire, un amortisseur de torsion dédié (volant bi-masse, amortisseur visqueux).

Hypothèses et limites

Modèle à une inertie, arbre-ressort de section circulaire constante et de masse propre négligée, amortissement visqueux linéaire. Non couvert : arbres à sections multiples (raideurs en série), modes supérieurs, couplage flexion/torsion, effets gyroscopiques, paliers souples. La partie résistance (contrainte de cisaillement, angle admissible) est traitée sur la planche Torsion d'arbre.