Quelle est la différence entre moment quadratique I et module de flexion W ?

Le moment quadratique I (mm⁴) caractérise la rigidité en flexion d'une section : plus I est grand, plus la poutre est rigide (flèche faible). Le module de flexion W = I/v (mm³) caractérise la résistance : plus W est grand, plus la contrainte σ = M/W est faible pour un moment donné. W dépend de la distance v à la fibre la plus éloignée.

Comment calculer l'inertie d'une section en I ?

La section en I se décompose en 3 rectangles (semelle supérieure, âme, semelle inférieure). Le moment quadratique total est la somme des I propres de chaque rectangle plus les termes de Huygens (A_i·d_i²) où d_i est la distance du centre du rectangle au centre de gravité global. I_total = Σ(b_i·h_i³/12 + A_i·d_i²).

Hypothèses et limites ?

Sections homogènes et pleines en flexion selon l'axe indiqué, matériau isotrope, théorie des poutres. I, W et le rayon de giration sont purement géométriques : ils ne dépendent pas du matériau. Le profilé en I est idéalisé — les congés de raccordement âme/semelle ne sont pas modélisés, ce qui sous-estime légèrement A et I par rapport à un profilé normalisé réel : pour un IPE ou un HEA, utilisez les valeurs du catalogue. Le voilement local des parois minces et le gauchissement en torsion ne sont pas traités.

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Propriétés de section

MOMENT QUADRATIQUE · MODULE DE FLEXION

Type de section

Base b (mm)

Hauteur h (mm)

Sections symétriques. L'axe neutre est l'axe de symétrie horizontal. Pour les profilés I, les 2 semelles sont identiques.

Propriétés géométriques

Aire A

—

Moment quadratique I

—

Module de flexion W = I/v

—

Rayon de giration i = √(I/A)—

Distance fibre extrême v—

Centre de gravité (axe neutre)—

Aide au prédimensionnement — Les formules supposent une section homogène et un comportement élastique linéaire. Pour les profilés I, le calcul est simplifié (3 rectangles, Huygens). Pour un profilé normalisé (IPE, HEA, UPN), référez-vous aux tableaux du fabricant. Les propriétés alimentent les calculs de poutre en flexion et torsion d'arbre. Conditions d'utilisation.

Propriétés géométriques des sections

En RDM, la rigidité et la résistance d'une poutre dépendent de la forme de sa section. Les quatre grandeurs fondamentales sont :

Aire A (mm²) : résistance à la traction/compression simple
Moment quadratique I (mm⁴) : rigidité en flexion (et torsion pour les sections circulaires)
Module de flexion W (mm³) : résistance à la flexion (contrainte σ = M/W)
Rayon de giration i (mm) : résistance au flambement (élancement λ = L_k/i)

Formules par type de section

Rectangle (b × h) : A = b·h, I = b·h³/12, W = b·h²/6, i = h/√12, v = h/2

Cercle plein (d) : A = π·d²/4, I = π·d⁴/64, W = π·d³/32, i = d/4, v = d/2

Tube (D × d) : A = π(D²−d²)/4, I = π(D⁴−d⁴)/64, W = 2I/D, i = √(I/A)/*4, v = D/2

Profilé I : décomposition en 3 rectangles (2 semelles + âme) avec théorème de Huygens pour l'inertie totale.

Théorème de Huygens (transport)

Pour une section composite, le moment quadratique total par rapport à l'axe neutre global vaut :

I_total = Σ (I_0i + A_i · d_i²)

où I_0i est l'inertie propre de la partie i par rapport à son propre centre, A_i son aire et d_i la distance de son centre à l'axe neutre global.

Sources

Références : Formules de RDM classique : Navier, Euler-Bernoulli. Théorème de Huygens-Steiner.

Vérification : Rectangle 100×200 → I = 66,67×10⁶ mm⁴, W = 666,7×10³ mm³. Cercle Ø100 → I = 4,909×10⁶ mm⁴, W = 98,17×10³ mm³. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.

Guide — Propriétés de section

Comment utiliser ces propriétés

Les propriétés de section sont les données d'entrée des calculs RDM :

Contrainte en flexion : σ = M · v / I = M / W
Flèche d'une poutre : f = (P·L³)/(48·E·I) pour une poutre bi-appuyée
Charge critique de flambement : F_cr = π²·E·I / L_k²
Angle unitaire de torsion : θ = T/(G·I_t), avec I_t = I pour section circulaire

Exemple : profilé I
H = 200 mm, B = 100 mm, t_f = 12 mm, t_w = 8 mm.
Semelles : 2 × (100×12), âme : (176×8).
A = 2×1200 + 1408 = 3808 mm².
I propre semelle : 100×12³/12 = 14400 mm⁴ ; A·d² = 1200·94² = 10,6×10⁶ mm⁴ par semelle.
I âme : 8×176³/12 = 3,63×10⁶ mm⁴.
I total : 2×(14400+10,6×10⁶) + 3,63×10⁶ = 24,9×10⁶ mm⁴.
v = 100 mm → W = 24,9×10⁶/100 = 249×10³ mm³.

Questions fréquentes

Pourquoi I est-il en mm⁴ et W en mm³ ?

I est l'intégrale de y²·dA sur la section, soit une longueur⁴. W est I/v soit une longueur³. I représente la rigidité (EI dans l'équation de la déformée), W la résistance (σ = M/W).

Puis-je entrer des cotes en mètres ?

Toutes les cotes sont en millimètres (mm). Les résultats sont en mm², mm⁴, mm³, mm. Pour convertir en mètres : 1 m = 1000 mm. I(m⁴) = I(mm⁴) × 10⁻¹².