Comment caractériser un système du second ordre ?

Par sa pulsation propre ωn et son amortissement ζ. Si ζ 1 sur-amorti.

Que sont les marges de gain et de phase ?

Ce sont des indicateurs de robustesse de la stabilité, lus sur le diagramme de Bode de la boucle ouverte. La marge de phase est l'écart à −180° à la pulsation où le gain vaut 0 dB ; la marge de gain est l'atténuation disponible à la pulsation où la phase vaut −180°. On vise souvent une marge de phase supérieure à 45°.

À quoi servent les actions P, I et D d'un correcteur PID ?

L'action proportionnelle (P) accélère la réponse mais laisse une erreur statique ; l'action intégrale (I) annule l'erreur statique mais peut ralentir et déstabiliser ; l'action dérivée (D) amortit et anticipe mais amplifie le bruit. Le réglage PID cherche le compromis entre rapidité, précision et stabilité.

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Fonction de transfert

1ᵉʳ / 2ⁿᵈ ORDRE · BODE · MARGES · PID

Outil

Système du premier ordre : G(s) = K / (1 + τ·s). Réponse indicielle y(t) = K·(1 − e^(−t/τ)).

Gain statique K

Constante de temps τ (s)

réponse indicielle y(t)

Résultats — Système du 1ᵉʳ ordre

—

Aide au prédimensionnement — Systèmes linéaires à temps invariant (LTI), analyse idéale. Les résultats sont indicatifs : saturation des actionneurs, retards, bruit de mesure et non-linéarités modifient le comportement réel. Un réglage doit être validé en simulation détaillée puis sur le système. Conditions d'utilisation.

La fonction de transfert, langage de l'automatique

La fonction de transfert G(s) relie, dans le domaine de Laplace, la sortie à l'entrée d'un système linéaire. Elle condense tout le comportement dynamique en une fraction rationnelle de la variable s. Deux formes reviennent partout : le premier ordre (un pôle) et le second ordre (deux pôles), qui suffisent à décrire une immense majorité de procédés industriels ou à les approcher.

Le premier ordre

G(s) = K / (1 + τ·s) y(t) = K·(1 − e^(−t/τ))

Un seul paramètre dynamique : la constante de temps τ. La réponse atteint 63 % de sa valeur finale en τ, 95 % en 3τ, 99 % en 5τ. Le gain statique K fixe la valeur finale (K·échelon). Aucun dépassement possible : le premier ordre est toujours amorti.

Le second ordre

G(s) = K·ωn² / (s² + 2·ζ·ωn·s + ωn²)

Deux paramètres : la pulsation propre ωn (rapidité) et l'amortissement ζ (forme de la réponse). Trois régimes : sous-amorti (ζ < 1) avec oscillations et dépassement, critique (ζ = 1) — le plus rapide sans dépassement, sur-amorti (ζ > 1) lent et sans oscillation. En sous-amorti :

D% = e^(−πζ/√(1−ζ²))·100 tp = π/(ωn·√(1−ζ²)) t_réponse 5 % ≈ 3/(ζ·ωn) (2 % ≈ 4/(ζ·ωn))

La valeur ζ = 0,707 est un réglage de référence : elle offre le meilleur compromis rapidité / dépassement (dépassement d'environ 4 %) et correspond à une marge de phase voisine de 65°.

Le diagramme de Bode et les marges de stabilité

Le diagramme de Bode trace le gain (en décibels) et la phase (en degrés) de la fonction de transfert en fonction de la pulsation, sur une échelle logarithmique. Sur la boucle ouverte, il donne les deux marges de stabilité qui mesurent la robustesse : la marge de phase (écart à −180° là où le gain vaut 0 dB) et la marge de gain (atténuation restante là où la phase vaut −180°). Des repères courants : marge de phase > 45° et marge de gain > 6 dB (facteur 2). Une marge de phase faible annonce un système oscillant et peu robuste.

Le correcteur PID

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s

Le PID combine trois actions complémentaires. Proportionnelle (Kp) : réagit à l'erreur présente, accélère mais laisse une erreur statique. Intégrale (Ki) : cumule l'erreur passée et l'annule en régime permanent, au prix d'un risque de dépassement et de ralentissement. Dérivée (Kd) : anticipe la tendance, amortit le dépassement, mais amplifie le bruit de mesure. Régler un PID, c'est arbitrer entre rapidité, précision et stabilité — ce que ce calculateur illustre en traçant la réponse en boucle fermée.

Hypothèses et limites

Systèmes linéaires à temps invariant, à coefficients constants et réels, en régime idéal. La réponse temporelle est obtenue par intégration numérique (Runge-Kutta), le diagramme de Bode par évaluation de la fonction de transfert sur l'axe imaginaire. Non couverts : retards purs (e^(−Ts)), saturations et anti-windup, systèmes échantillonnés (transformée en z), non-linéarités, systèmes multivariables. Pour un réglage industriel, une simulation détaillée puis un essai sur site restent indispensables.