Fonction de transfert
1ᵉʳ / 2ⁿᵈ ORDRE · BODE · MARGES · PIDSystème du premier ordre : G(s) = K / (1 + τ·s). Réponse indicielle y(t) = K·(1 − e^(−t/τ)).
La fonction de transfert, langage de l'automatique
La fonction de transfert G(s) relie, dans le domaine de Laplace, la sortie à l'entrée d'un système linéaire. Elle condense tout le comportement dynamique en une fraction rationnelle de la variable s. Deux formes reviennent partout : le premier ordre (un pôle) et le second ordre (deux pôles), qui suffisent à décrire une immense majorité de procédés industriels ou à les approcher.
Le premier ordre
Un seul paramètre dynamique : la constante de temps τ. La réponse atteint 63 % de sa valeur finale en τ, 95 % en 3τ, 99 % en 5τ. Le gain statique K fixe la valeur finale (K·échelon). Aucun dépassement possible : le premier ordre est toujours amorti.
Le second ordre
Deux paramètres : la pulsation propre ωn (rapidité) et l'amortissement ζ (forme de la réponse). Trois régimes : sous-amorti (ζ < 1) avec oscillations et dépassement, critique (ζ = 1) — le plus rapide sans dépassement, sur-amorti (ζ > 1) lent et sans oscillation. En sous-amorti :
La valeur ζ = 0,707 est un réglage de référence : elle offre le meilleur compromis rapidité / dépassement (dépassement d'environ 4 %) et correspond à une marge de phase voisine de 65°.
Le diagramme de Bode et les marges de stabilité
Le diagramme de Bode trace le gain (en décibels) et la phase (en degrés) de la fonction de transfert en fonction de la pulsation, sur une échelle logarithmique. Sur la boucle ouverte, il donne les deux marges de stabilité qui mesurent la robustesse : la marge de phase (écart à −180° là où le gain vaut 0 dB) et la marge de gain (atténuation restante là où la phase vaut −180°). Des repères courants : marge de phase > 45° et marge de gain > 6 dB (facteur 2). Une marge de phase faible annonce un système oscillant et peu robuste.
Le correcteur PID
Le PID combine trois actions complémentaires. Proportionnelle (Kp) : réagit à l'erreur présente, accélère mais laisse une erreur statique. Intégrale (Ki) : cumule l'erreur passée et l'annule en régime permanent, au prix d'un risque de dépassement et de ralentissement. Dérivée (Kd) : anticipe la tendance, amortit le dépassement, mais amplifie le bruit de mesure. Régler un PID, c'est arbitrer entre rapidité, précision et stabilité — ce que ce calculateur illustre en traçant la réponse en boucle fermée.
Hypothèses et limites
Systèmes linéaires à temps invariant, à coefficients constants et réels, en régime idéal. La réponse temporelle est obtenue par intégration numérique (Runge-Kutta), le diagramme de Bode par évaluation de la fonction de transfert sur l'axe imaginaire. Non couverts : retards purs (e^(−Ts)), saturations et anti-windup, systèmes échantillonnés (transformée en z), non-linéarités, systèmes multivariables. Pour un réglage industriel, une simulation détaillée puis un essai sur site restent indispensables.
Sources, normes et références
Normes : Transformée de Laplace (modélisation des systèmes linéaires), diagramme de Bode (analyse fréquentielle), correcteurs PID (proportionnel, intégral, dérivé), critères de stabilité (marge de phase, marge de gain).
Hypothèses du modèle : Système linéaire invariant dans le temps (LTI), conditions initiales nulles, modélisation au premier ou second ordre sans saturation, jeu, retard pur ni frottement sec.
Domaine de validité : Asservissements continus, procédés modélisables par fonction de transfert rationnelle, marge de phase comprise entre 30° et 80°. Ne couvre pas les retards purs (Padé, Smith), les non-linéarités, ni les systèmes d'ordre supérieur non factorisables.
Vérification (2026-07-18) : 1er et 2nd ordre confirmés exacts (exemples du guide rejoués à l'identique). Bode/marges recoupées par calcul analytique indépendant sur l'exemple « trois pôles » — confirme le moteur numérique du site indépendamment de son implémentation. Éditeur : MECATOOLBOX — Mentions légales.
Guide — Fonctions de transfert
Lire un système par sa fonction de transfert
En automatique, on décrit un système linéaire par sa fonction de transfert G(s), rapport de la sortie sur l'entrée dans le domaine de Laplace. Les pôles (racines du dénominateur) gouvernent la dynamique : leur partie réelle donne l'amortissement, leur partie imaginaire les oscillations. Deux modèles couvrent l'essentiel des besoins : le premier et le second ordre.
Premier ordre
La constante de temps τ résume tout : 63 % de la valeur finale en τ, 95 % en 3τ, 99 % en 5τ. Jamais de dépassement. On modélise ainsi un premier ordre thermique, un circuit RC, un moteur en vitesse au premier ordre.
Second ordre
ωn fixe la rapidité, ζ la forme. En sous-amorti (ζ < 1), la réponse oscille et dépasse :
ζ = 0,5, ωn = 1 rad/s. Dépassement D% = e^(−π·0,5/√0,75)·100 ≈ 16,3 %. Temps de pic tp = π/√0,75 ≈ 3,63 s. Temps de réponse à 5 % ≈ 3/(0,5·1) = 6 s. Pour ζ = 0,707, le dépassement tombe à ≈ 4 % : c'est le réglage « optimal » usuel.
Bode et marges de stabilité
Le diagramme de Bode trace gain (dB) et phase (°) selon la pulsation, en échelle log. Sur la boucle ouverte L(s), on lit deux marges qui mesurent la robustesse avant instabilité : la marge de phase (à la pulsation de coupure ωc où le gain vaut 0 dB, l'écart entre la phase et −180°) et la marge de gain (à la pulsation où la phase atteint −180°, l'atténuation restante). Repères de conception : marge de phase > 45°, marge de gain > 6 dB.
L(s) = 2/(s+1)³. La phase atteint −180° à ωπ ≈ 1,73 rad/s, où le gain vaut −12 dB : marge de gain ≈ 12 dB. Le gain passe 0 dB à ωc ≈ 0,77 rad/s, où la phase vaut ≈ −112° : marge de phase ≈ 68°. Système confortablement stable.
Régler un PID
Chaque action a un rôle et un défaut. Kp accélère mais laisse une erreur statique (le proportionnel seul n'atteint pas la consigne sur un procédé sans intégrateur). Ki annule cette erreur en cumulant le passé, mais ajoute un déphasage qui peut déstabiliser et créer du dépassement (attention à l'emballement de l'intégrale — anti-windup en pratique). Kd anticipe et amortit, au prix d'une sensibilité au bruit. Méthode de bon sens : monter Kp jusqu'à une réponse vive mais peu oscillante, ajouter Ki pour effacer l'erreur, puis Kd pour calmer le dépassement.
Erreurs fréquentes
Confondre rapidité et stabilité
Augmenter le gain accélère… jusqu'à faire osciller puis diverger. La marge de phase quantifie la réserve avant instabilité : c'est elle qu'il faut surveiller, pas seulement le temps de réponse.
Oublier l'erreur statique du proportionnel
Sur un procédé de type 0, un correcteur purement proportionnel laisse toujours une erreur. Seule une action intégrale l'annule.
Pousser la dérivée sur un signal bruité
La dérivée amplifie le bruit haute fréquence. En pratique on la filtre (dérivée filtrée), non modélisée ici.
Questions fréquentes
Que vaut ζ = 0,707 ?
C'est le réglage de référence : dépassement ≈ 4 %, bon compromis rapidité/amortissement, marge de phase ≈ 65°. Beaucoup de cahiers des charges le visent.
Le calcul gère-t-il les retards ?
Non. Les retards purs (e^(−Ts)), fréquents en procédés (transport, mesure), dégradent fortement la marge de phase et demandent un traitement spécifique (Padé, Smith), non couvert ici.
Ce résultat suffit-il pour régler ma machine ?
Non : c'est une aide au prédimensionnement en modèle idéal. Saturations, frottements, bruit et retards imposent une simulation détaillée puis un réglage sur site.