Arbres
TORSION · RAIDEUR · VITESSE CRITIQUETorsion d'arbre
Contrainte de cisaillement et angle de torsion — arbre plein ou creux, couple ou puissance.
Disponible ARBRESRaideur & amortissement d'arbre
Rigidité en torsion, section, masse, fréquence propre, vitesse critique et amortissement.
DisponibleUn arbre casse rarement là où on l'attend
Un arbre de transmission subit de la torsion (le couple qu'il transmet), de la flexion (le poids et les efforts d'engrenage ou de courroie), et tourne. Ces trois choses se vérifient séparément mais échouent ensemble. La torsion donne la contrainte, la raideur donne la flèche et surtout la vitesse critique — celle où l'arbre entre en résonance et se détruit en quelques secondes.
La résonance ne prévient pas
À la vitesse critique, le balourd résiduel excite le premier mode de flexion de l'arbre : l'amplitude n'est plus bornée que par l'amortissement, très faible sur un arbre en acier. La règle usuelle est de rester sous 0,75× la vitesse critique, ou franchement au-dessus si l'on accepte de la traverser au démarrage. Une machine dont la vitesse de service tombe pile sur la critique est irrécupérable sans changer la géométrie.
Hypothèses et limites
Torsion : section circulaire pleine ou creuse, matériau élastique linéaire, couple constant, pas de gauchissement (ce qui serait faux pour une section non circulaire). Vitesse critique : modèle de Rayleigh à un seul mode, paliers supposés rigides, arbre de section constante. Non couverts : la combinaison torsion + flexion (qui exige un critère type von Mises ou Tresca), les concentrations de contraintes aux épaulements, gorges et rainures de clavette — souvent le vrai point de rupture — la fatigue, et les modes supérieurs. Aide au prédimensionnement : résultats indicatifs, à valider par un professionnel.
Guide — Arbres
Torsion d'un arbre circulaire
τ = T·r/Ip, maximale à la périphérie et nulle au centre : la matière du cœur ne travaille presque pas. C'est pourquoi un arbre creux est si efficace — retirer 50 % du diamètre au centre ne coûte que 6 % de Ip tout en enlevant 25 % de la masse. L'angle de torsion vaut θ = T·L/(G·Ip).
Pourquoi la section circulaire
La théorie simple de la torsion n'est exacte que pour une section circulaire : c'est la seule qui ne gauchit pas, dont les sections droites restent planes. Dès qu'on sort du rond — carré, profil ouvert, rainure de clavette — le gauchissement apparaît et la formule cesse d'être valable. Un arbre rainuré est un cas de concentration de contraintes, pas un cas de torsion pure.
Raideur et vitesse critique
La vitesse critique découle directement de la raideur : ωc = √(k/m). Tout ce qui raidit l'arbre l'éloigne vers le haut, tout ce qui l'alourdit la fait descendre. Le diamètre agit très fort — la raideur en flexion varie comme d⁴ — quand la masse ne varie que comme d². Grossir un arbre monte donc toujours sa critique.
Les vrais points de rupture
Un arbre casse presque toujours sur un changement de section : épaulement à congé trop vif, gorge de circlips, rainure de clavette. Le calcul de torsion donne la contrainte nominale ; c'est le facteur de concentration Kt qui donne la contrainte réelle, et le calcul de fatigue qui dit si elle tient dans la durée. Ces trois outils se chaînent.