Comment calculer le nombre de Reynolds et le régime d'écoulement ?

Le nombre de Reynolds Re = ρ·v·D/µ = v·D/ν compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. En conduite : écoulement laminaire pour Re < 2300, transition entre 2300 et 4000, turbulent au-delà de 4000. C'est lui qui détermine la formule du coefficient de perte de charge.

Comment calcule-t-on les pertes de charge dans une conduite ?

Par la formule de Darcy-Weisbach ΔH = f·(L/D)·v²/(2g). Le coefficient f vaut 64/Re en laminaire ; en turbulent on utilise la corrélation explicite de Swamee-Jain, fonction de la rugosité relative ε/D et de Re. Les pertes singulières (coudes, vannes) s'ajoutent par ΔH = K·v²/(2g).

Ce calculateur résout-il les équations de Navier-Stokes ?

Non. Les équations de Navier-Stokes n'ont pas de solution analytique générale : le cas général relève de la simulation numérique (CFD). Ce calculateur ne traite que des cas simplifiés qui admettent une solution exacte connue : l'écoulement de Poiseuille (conduite circulaire) et l'écoulement de Couette (entre deux plaques).

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Mécanique des fluides

BERNOULLI · REYNOLDS · PERTES · POMPE · POISEUILLE / COUETTE

Outil

Fluide — Eau 20 °C

Cas

Ø amont D1 (mm)

Vitesse amont v1 (m/s)

Ø aval D2 (mm)

Conservation du débit : A1·v1 = A2·v2. La vitesse augmente quand la section se réduit.

écoulement / grandeur calculée

Résultats — Bernoulli & continuité

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Aide au prédimensionnement — Fluide newtonien incompressible, régime établi, conduite pleine. Résultats indicatifs : les pertes de charge dépendent fortement de l'état réel des conduites et des accessoires. Ce calcul ne résout pas les équations de Navier-Stokes dans le cas général (domaine de la simulation CFD) ; seuls Poiseuille et Couette sont des solutions exactes en géométrie simplifiée. Conditions d'utilisation.

Continuité et Bernoulli : la base de l'hydraulique

Deux principes gouvernent l'écoulement d'un fluide dans une conduite. La continuité traduit la conservation du débit : ce qui entre ressort, donc Q = A·v est constant. Quand la section se réduit, la vitesse augmente d'autant (A₁·v₁ = A₂·v₂). Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant, entre pression, énergie cinétique et énergie de position :

p₁ + ½ρv₁² + ρg·z₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρg·z₂ (+ pertes)

Il explique l'effet Venturi (la pression chute là où le fluide accélère) et, appliqué à la vidange d'un réservoir, donne la formule de Torricelli v = √(2gh) : la vitesse de sortie par un orifice ne dépend que de la hauteur de fluide au-dessus, exactement comme un objet en chute libre.

Reynolds : laminaire ou turbulent ?

Le nombre de Reynolds Re = ρ·v·D/µ = v·D/ν compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. Il classe le régime d'écoulement, ce qui conditionne tout le reste du calcul (pertes de charge, échange thermique) : en conduite, laminaire pour Re < 2300 (filets parallèles, pertes proportionnelles à la vitesse), transition entre 2300 et 4000, turbulent au-delà de 4000 (mélange chaotique, pertes proportionnelles au carré de la vitesse). La plupart des écoulements industriels d'eau sont turbulents.

Pertes de charge : Darcy-Weisbach

L'écoulement réel dissipe de l'énergie par frottement. La perte de charge linéaire (le long de la conduite) se calcule par la formule universelle de Darcy-Weisbach, et les pertes singulières (coudes, vannes, élargissements) s'ajoutent via un coefficient K :

Linéaire : ΔH = f·(L/D)·v²/(2g) Singulière : ΔH = K·v²/(2g) Δp = ρ·g·ΔH

Le coefficient de frottement f vaut 64/Re en laminaire. En turbulent, il dépend de la rugosité relative ε/D et de Re ; ce calculateur utilise la corrélation explicite de Swamee-Jain, qui approche la formule implicite de Colebrook-White à mieux que 1 % sans itération : f = 0,25 / [log₁₀(ε/(3,7·D) + 5,74/Re⁰·⁹)]².

Dimensionnement de pompe

La puissance utile transmise au fluide (puissance hydraulique) et la puissance à l'arbre (ce que le moteur doit fournir) se déduisent du débit, de la hauteur manométrique totale (HMT) et du rendement :

P_hydraulique = ρ·g·Q·H P_arbre = P_hydraulique / η HMT = hauteur géométrique + pertes de charge

La HMT n'est pas la seule hauteur à monter : elle inclut aussi toutes les pertes de charge du circuit (aspiration et refoulement). C'est pourquoi le calcul des pertes de charge précède celui de la pompe.

Navier-Stokes, Poiseuille, Couette et la CFD

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement de tout fluide visqueux. Ce sont des équations aux dérivées partielles non linéaires sans solution analytique générale : dans le cas général (turbulence, géométries complexes), on ne les « résout » que numériquement, par simulation CFD (Computational Fluid Dynamics) — ce que ce site ne fait pas. Il existe cependant quelques cas simplifiés qui admettent une solution exacte, et ce sont ceux que propose cet outil :

Poiseuille (conduite) : Q = π·Δp·R⁴/(8·µ·L) ; v_max = Δp·R²/(4µL) ; v_moy = v_max/2

Couette (deux plaques, entrefer h, plaque mobile à U) : profil linéaire, τ = µ·U/h

L'écoulement de Poiseuille (laminaire, établi, conduite circulaire) donne le profil de vitesse parabolique et la fameuse dépendance en R⁴ — doubler le rayon multiplie le débit par 16. L'écoulement de Couette (cisaillement pur entre deux plaques) est le modèle de base de la lubrification et des paliers. Au-delà de ces cas d'école, il faut la CFD.

Hypothèses et limites

Fluide newtonien incompressible, régime permanent, conduite en charge (pleine). La rugosité ε est une valeur conventionnelle : l'entartrage, la corrosion et les dépôts la font évoluer dans le temps. Poiseuille suppose un écoulement laminaire (Re < 2300) ; au-delà, le profil n'est plus parabolique. Non couverts : écoulements compressibles (gaz à grande vitesse), surfaces libres et canaux ouverts, transitoires (coup de bélier), fluides non newtoniens, cavitation (NPSH des pompes). Pour un dimensionnement définitif, une note de calcul détaillée s'impose.